2009-大纲卷I文-19 解-四棱锥二面角

本题导读

立体几何大题。以 $D$ 为原点建系，$M$ 在 $SC$ 上设参数，由 $\angle ABM=60^{\circ }$ 解出 $M$ 为 $SC$ 中点；二面角用两平面内垂直于棱的向量计算。

📌【题干】

Question

（2009年大纲卷I(文)） 如图，四棱锥 $S-ABCD$ 中，底面 $ABCD$ 为矩形，$SD\perp$ 底面 $ABCD$，$AD=\sqrt{2}$，$DC=SD=2$，点 $M$ 在侧棱 $SC$ 上，$\angle ABM=60^{\circ }$.

(1)证明：$M$ 是侧棱 $SC$ 的中点；

(2)求二面角 $S-AM-B$ 的大小.

🔍【思路分析】

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1. (1) 建系：$D=(0,0,0)$，$C=(2,0,0)$，$A=(0,\sqrt{2},0)$，$B=(2,\sqrt{2},0)$，$S=(0,0,2)$。设 $M$ 分 $SC$ 为参数 $\lambda$：$M=(2\lambda ,0,2-2\lambda )$，由 $\cos \angle ABM=\frac{1}{2}$ 解出 $\lambda =\frac{1}{2}$。
2. (2) 取 $AM$ 的方向向量，在平面 $SAM$ 与 $BAM$ 内分别作垂直于 $AM$ 的向量 $\mathbf{p}$、$\mathbf{q}$，$\cos \theta =\frac{\mathbf{p}\cdot \mathbf{q}}{|\mathbf{p}||\mathbf{q}|}=-\frac{\sqrt{6}}{3}$。

✅【答案】

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(1) 证明见解析；(2)二面角 $S-AM-B$ 的大小为 $\arccos \left(-\frac{\sqrt{6}}{3}\right)$

✍【详细解析】

Abstract

（1） 建立空间直角坐标系，令 $D=(0,0,0)$，$C=(2,0,0)$，$A=(0,\sqrt{2},0)$，$B=(2,\sqrt{2},0)$，$S=(0,0,2)$。 设 $M$ 将 $SC$ 按参数 $\lambda$ 分割，则 $M=(2\lambda ,0,2-2\lambda )$（$0⩽\lambda ⩽1$）。于是 $\overrightarrow{BA}=(-2,0,0),\overrightarrow{BM}=(2\lambda -2,-\sqrt{2},2-2\lambda ),$ $\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BM}=4(1-\lambda ),|\overrightarrow{BM}{|}^2=8(1-\lambda {)}^2+2.$ 由 $\angle ABM=60^{\circ }$ 得 $\frac{4(1-\lambda )}{2\sqrt{8(1-\lambda {)}^2+2}}=\cos 60^{\circ }=\frac{1}{2}.$ 由于 $1-\lambda ⩾0$，平方并整理得 $16(1-\lambda {)}^2=8(1-\lambda {)}^2+2$，从而 $(1-\lambda {)}^2=\frac{1}{4}$，结合 $1-\lambda ⩾0$ 得 $\lambda =\frac{1}{2}$。 所以 $M=(1,0,1)$，即 $M$ 是侧棱 $SC$ 的中点。

（2） 设二面角 $S-AM-B$ 的大小为 $\theta$。取公共棱 $AM$ 的方向向量 $\mathbf{u}=\overrightarrow{AM}=(1,-\sqrt{2},1)$，$|\mathbf{u}{|}^2=4$。 在平面 $SAM$ 与平面 $BAM$ 内，分别取指向 $S$ 和 $B$ 一侧且垂直于 $AM$ 的向量 $\mathbf{p}=\overrightarrow{AS}-\overrightarrow{AS}\cdot \frac{\mathbf{u}}{|\mathbf{u}{|}^2}\mathbf{u}=(-1,0,1),\mathbf{q}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AB}\cdot \frac{\mathbf{u}}{|\mathbf{u}{|}^2}\mathbf{u}=\left(\frac{3}{2},\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{1}{2}\right),$ 其中 $\overrightarrow{AS}=(0,-\sqrt{2},2)$，$\overrightarrow{AB}=(2,0,0)$，且 $\mathbf{p}\cdot \mathbf{u}=0$，$\mathbf{q}\cdot \mathbf{u}=0$。 因而 $\mathbf{p}\cdot \mathbf{q}=-2$，$|\mathbf{p}|=\sqrt{2}$，$|\mathbf{q}|=\sqrt{3}$，所以 $\cos \theta =\frac{\mathbf{p}\cdot \mathbf{q}}{|\mathbf{p}||\mathbf{q}|}=-\frac{2}{\sqrt{2}\sqrt{3}}=-\frac{\sqrt{6}}{3}.$ 故二面角 $S-AM-B$ 的大小为 $\arccos \left(-\frac{\sqrt{6}}{3}\right)$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：空间向量证明与二面角

核心方法：建系 + 定点参数 + 垂直棱的向量

避坑指南：$\lambda$ 的方程来自 $\cos \angle ABM=\frac{1}{2}$ 且 $1-\lambda ⩾0$；二面角向量要取指向对应半平面内侧。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：四棱锥 + 建系 + 二面角是立体几何解答题标准版式。

结论推广：二面角大小用”两半平面内垂直于棱的向量”夹角余弦直接计算。

方法推广：含动点参数的立体几何题，先由角度（或比例）条件解出参数定位。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.05 几何法求空间角专题

类题演练 (Links)

• 2011-浙江卷文-20 解-线面垂直与二面角
• 2014-湖南卷文-18 解-二面角
• 2011-重庆卷文-20 解-四面体体积与二面角