2009-广东卷理-17 解-二项分布

本题导读

本题是一道统计与概率交汇的综合解答题。前两问考查频率分布直方图的识读与频数计算，核心在于理解直方图纵轴及面积的几何意义；第三问将频率视作概率，考查独立重复试验中二项分布模型的建立与对立事件的应用。

📌【题干】

Question

（2009年广东卷(理)） 根据空气质量指数 API（为整数）的不同，可将空气质量分级如下表：对某城市一年（365 天）的空气质量进行监测，获得 API 数据按照区间 $[0,50]$, $(50,100]$, $(100,150]$, $(150,200]$, $(200,250]$, $(250,300]$ 进行分组，得到频率分布直方图如图.

API	$0\sim 50$	$51\sim 100$	$101\sim 150$	$151\sim 200$	$201\sim 250$	$251\sim 300$	$>300$
级别	I	II	${\text{III}}_1$	${\text{III}}_2$	${\text{IV}}_1$	${\text{IV}}_2$	V
状况	优	良	轻微污染	轻度污染	中度污染	中重度污染	重度污染

(1) 求直方图中 $x$ 的值；

(2) 计算一年中空气质量分别为良和轻微污染的天数；

(3) 求该城市某一周至少有 2 天的空气质量为良或轻微污染的概率. （结果用分数表示. 已知 $5^7=78125,2^7=128,\frac{3}{1825}+\frac{2}{365}+\frac{7}{1825}+\frac{3}{1825}+\frac{8}{9125}=\frac{123}{9125},365=73\times 5$）

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第(1)问：各组矩形的组距均为 50，利用各组频率之和等于 1（即各组高度之和等于 $\frac{1}{\text{组距}}=\frac{1}{50}$）构造关于 $x$ 的方程求解。

2. 第(2)问：根据直方图对应区间的高度，结合公式 $\text{天数}=\text{高度}\times \text{组距}\times \text{总天数}$ 分别计算。

3. 第(3)问：先求出一天空气质量为良或轻微污染的概率 $p$，再将一周 7 天视作 7 次独立重复试验。由于“至少 2 天”的情况较多，考虑从对立事件（即 0 天或 1 天）切入求解。

✅【答案】

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（1）直方图各组组距均为50，所以各组频率之和为1.除高度为𝑥的一组外，其余五组的频率之和为50(3

✍【详细解析】

Abstract

(1) 由频率分布直方图的性质可知，各组矩形的面积之和等于 1。 各组矩形的组距均为 50，因此各组高度之和等于 $\frac{1}{50}$。 由题意得：$x+\frac{3}{1825}+\frac{2}{365}+\frac{7}{1825}+\frac{3}{1825}+\frac{8}{9125}=\frac{1}{50}$ 利用已知条件化简得：$x+\frac{123}{9125}=\frac{1}{50}$ 所以 $x=\frac{1}{50}-\frac{123}{9125}=\frac{182.5-123}{9125}=\frac{59.5}{9125}=\frac{119}{18250}$.

(2) 一年中空气质量为“良”的监测数据在区间 $(50,100]$ 内，其对应矩形的高度为 $x=\frac{119}{18250}$。 故其天数为：$\frac{119}{18250}\times 50\times 365=119$（天）。 一年中空气质量为“轻微污染”的监测数据在区间 $(100,150]$ 内，其对应矩形的高度为 $\frac{2}{365}$。 故其天数为：$\frac{2}{365}\times 50\times 365=100$（天）。

(3) 由(2)可知，一年 365 天中空气质量为良或轻微污染的天数共有 $119+100=219$ 天。 则任选一天，空气质量为良或轻微污染的概率为 $p=\frac{219}{365}=\frac{3\times 73}{5\times 73}=\frac{3}{5}$. 设某一周 7 天中空气质量为良或轻微污染的天数为 $Y$，则 $Y\sim B\left(7,\frac{3}{5}\right)$。 该周至少有 2 天空气质量为良或轻微污染的对立事件为 $Y=0$ 或 $Y=1$。 $P(Y=0)=C_7^0\times {\left(1-\frac{3}{5}\right)}^7={\left(\frac{2}{5}\right)}^7=\frac{128}{78125}$ $P(Y=1)=C_7^1\times {\left(\frac{3}{5}\right)}^1\times {\left(\frac{2}{5}\right)}^6=7\times \frac{3}{5}\times \frac{64}{15625}=\frac{1344}{78125}$ 因此，所求概率为： $P(Y\ge 2)=1-P(Y=0)-P(Y=1)=1-\frac{128+1344}{78125}=1-\frac{1472}{78125}=\frac{76653}{78125}$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：频率分布直方图高度与频率的关系、二项分布及对立事件概率计算。

2. 核心方法：直方图面积法、独立重复试验的对立转化思想。

3. 避坑指南：切记直方图的纵坐标为 $\frac{\text{频率}}{\text{组距}}$，在求频率或天数时必须乘以组距 50，不可直接将高度当作频率计算。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于教材中关于环境数据统计分析的实际应用案例，将现实中的 API 指数与概率模型相结合，是典型的高考应用型问题。

2. 结论推广：在直方图中，若已知样本容量为 $N$，某两相邻区间的矩形高度分别为 $h_1,h_2$，组距为 $d$，则这两区间包含的样本总频数为 $(h_1+h_2)\cdot d\cdot N$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 14.03 频率分布直方图中的数据计算

类题演练 (Links)

• 2011-四川卷文-02 单-频率分布估计
• 2011-新课标卷文-19 解-频率分布与利润估计
• 2011-浙江卷文-13 填-频率分布直方图