2009-江苏卷-21 解-附加四选二

本题导读

附加题四选二。A 用四点共圆得 $AB\parallel CD$；B 得 $A^{-1}=\left[\begin{array}{cc}-1& 2\\ 2& -3\end{array}\right]$；C 得 $3x^2-y+6=0$；D 因式分解 $(a-b)(3a^2-2b^2)⩾0$。

📌【题干】

Question

（2009年江苏卷） （本题为选做题，在 A、B、C、D 四小题中只能选做两题，每小题 $10$ 分，共计 $20$ 分） （选修 4-1：几何证明选讲）【A】 如图，在四边形 $ABCD$ 中，$△ABC\cong △BAD$.求证：$AB\parallel CD$. （选修 4-2：矩阵与变换）【B】 求矩阵 $A=\left[\begin{array}{cc}3& 2\\ 2& 1\end{array}\right]$ 的逆矩阵. （选修 4-4：坐标系与参数方程）【C】 已知曲线 $C$ 的参数方程为 $\{\begin{array}{l}x=\sqrt{t}-\frac{1}{\sqrt{t}},\\ y=3\left(t+\frac{1}{t}\right)\end{array}$（$t$ 为参数，$t>0$），求曲线 $C$ 的普通方程. （选修 4-5：不等式选讲）【D】 设 $a⩾b>0$，求证：$3a^3+2b^3⩾3a^{2}b+2a{b}^2$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. A：由全等得 $\angle ACB=\angle BDA$，四点共圆，同弦圆周角相等得内错角相等。
2. B：设 $A^{-1}=\left[\begin{array}{cc}p& q\\ r& s\end{array}\right]$，由 $A{A}^{-1}=I$ 列四个方程。
3. C：$x^2=t+\frac{1}{t}-2$，代入 $y=3\left(t+\frac{1}{t}\right)$ 消参。
4. D：作差分解为 $(a-b)(3a^2-2b^2)$，逐因子定号。

✅【答案】

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A：见解析；B：$A^{-1}=\left[\begin{array}{cc}-1& 2\\ 2& -3\end{array}\right]$；C：$3x^2-y+6=0$；D：见解析

✍【详细解析】

Abstract

A：由 $△ABC\cong △BAD$，得 $\angle ACB=\angle BDA$，$\angle CAB=\angle DBA$。因此点 $A$，$B$，$C$，$D$ 共圆。 在该圆中，同弦 $CB$ 所对的圆周角相等，所以 $\angle CAB=\angle CDB$。 于是 $\angle DBA=\angle CDB$，这是一对内错角相等，故 $AB\parallel CD$。 B：设 $A^{-1}=\left[\begin{array}{cc}p& q\\ r& s\end{array}\right]$。由 $A{A}^{-1}=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]$ 得 $\{\begin{array}{l}3p+2r=1,\\ 3q+2s=0,\\ 2p+r=0,\\ 2q+s=1.\end{array}$ 解得 $p=-1$，$q=2$，$r=2$，$s=-3$。因此 $A^{-1}=\left[\begin{array}{cc}-1& 2\\ 2& -3\end{array}\right]$。 C：由参数方程得 $x^2={\left(\sqrt{t}-\frac{1}{\sqrt{t}}\right)}^2=t+\frac{1}{t}-2$，所以 $t+\frac{1}{t}=x^2+2$。 代入 $y=3\left(t+\frac{1}{t}\right)$，得 $y=3x^2+6$，即曲线 $C$ 的普通方程为 $3x^2-y+6=0$。 又因为 $t>0$ 时 $\sqrt{t}-\frac{1}{\sqrt{t}}$ 的取值范围为全体实数，所以该方程没有额外的取值限制。 D：$3a^3+2b^3-3a^{2}b-2a{b}^2=3a^2(a-b)-2b^2(a-b)=(a-b)(3a^2-2b^2)$。 因为 $a⩾b>0$，所以 $a-b⩾0$，且 $3a^2-2b^2⩾a^2>0$。 故 $(a-b)(3a^2-2b^2)⩾0$，从而 $3a^3+2b^3⩾3a^{2}b+2a{b}^2$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：附加四模块选做

核心方法：A 共圆；B 待定系数；C 平方消参；D 因式分解

避坑指南：B 中 $A^{-1}$ 的待定元顺序；C 中说明 $x$ 取值无限制。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：江苏附加题 A 必含几何证明，B/C/D 覆盖矩阵、参数方程、不等式。

结论推广：A 的四点共圆来自全等给出的两组等角。

方法推广：矩阵逆用 $A{A}^{-1}=I$ 列方程组最稳；D 必须逐因子说明非负。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系
• 18.16 参数方程与复数变换
• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2011-江苏卷-21 解-几何证明选讲
• 2011-广东卷文-14 填-参数方程交点
• 2011-辽宁卷文-22 解-三选一几何证明参数方程绝对值