2011-辽宁卷文-22 解-三选一几何证明参数方程绝对值

本题导读

本题考查圆内接四边形的性质，以及全等三角形。

📌【题干】

Question

（2011年辽宁卷(文)） （考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分）

A.（选修 4-1：几何证明选讲） 如图，$A$，$B$，$C$，$D$ 四点在同一圆上，$AD$ 的延长线与 $BC$ 的延长线交于 $E$ 点，且 $EC=ED$.

(1)证明：$CD\parallel AB$；

(2)延长 $CD$ 到 $F$，延长 $DC$ 到 $G$，使得 $EF=EG$，证明：$A$，$B$，$G$，$F$ 四点共圆.

B.（选修 4-4：坐标系与参数方程） 在平面直角坐标系 $xOy$ 中，曲线 $C_1$ 的参数方程为 $\{\begin{array}{l}x=\cos \phi ,\\ y=\sin \phi \end{array}$（$\phi$ 为参数），曲线 $C_2$ 的参数方程为 $\{\begin{array}{l}x=a\cos \phi ,\\ y=b\sin \phi \end{array}$（$a>b>0$，$\phi$ 为参数）.在以 $O$ 为极点，$x$ 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线 $l:\theta =\alpha$ 与 $C_1$，$C_2$ 各有一个交点.当 $\alpha =0$ 时，这两个交点间的距离为 $2$，当 $\alpha =\frac{\pi }{2}$ 时，这两个交点重合.

(1)分别说明 $C_1$，$C_2$ 是什么曲线，并求出 $a$ 与 $b$ 的值；

(2)设当 $\alpha =\frac{\pi }{4}$ 时，$l$ 与 $C_1$，$C_2$ 的交点分别为 $A_1$，$B_1$；当 $\alpha =-\frac{\pi }{4}$ 时，$l$ 与 $C_1$，$C_2$ 的交点分别为 $A_2$，$B_2$.求四边形 $A_1{A}_2{B}_2{B}_1$ 的面积.

C.（选修 4-5：不等式选讲） 已知函数 $f(x)=|x-2|-|x-5|$.

(1)证明：$-3⩽f(x)⩽3$；

(2)求不等式 $f(x)⩾x^2-8x+15$ 的解集.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 步骤1：A 用「外角转内对角 + 等腰」证平行
2. 步骤2：再用对称性证等腰梯形共圆
3. 步骤3：B 用 $\tan \phi =-3$ 定交点、梯形面积公式
4. 步骤4：C 分区间去绝对值

✅【答案】

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(1) 证明见解析

(2) 证明见解析

(1) $C_1$ 是单位圆，$C_2$ 是椭圆，$a=3$，$b=1$

(2) $\frac{2}{5}$

(1) 证明见解析

(2) $[5-\sqrt{3},6]$

✍【详细解析】

Abstract

A（1）：$EC=ED$，故 $\angle ECD=\angle EDC$（等边对等角）。

$E$，$C$，$B$ 共线，故 $\angle ECD+\angle DCB=180^{\circ }$；圆内接四边形 $ABCD$ 中 $\angle BAD+\angle DCB=180^{\circ }$（对角互补），故 $\angle BAD=\angle ECD$。

同理，$E$，$D$，$A$ 共线，$\angle EDC+\angle ADC=180^{\circ }$（平角）；而圆内接四边形中 $\angle ABC+\angle ADC=180^{\circ }$，故 $\angle ABC=\angle EDC=\angle ECD$。

由 $\angle EDC=\angle ECD$ 与 $\angle ECD+\angle DCB=180^{\circ }$ 得 $\angle EDC+\angle DCB=180^{\circ }$，故 $\angle ADC=180^{\circ }-\angle EDC=\angle DCB$。

圆内接四边形中 $\angle ABC+\angle ADC=180^{\circ }$，代入得 $\angle ABC+\angle DCB=180^{\circ }$——$AB$、$CD$ 被 $BC$ 所截的同旁内角互补，所以 $CD\parallel AB$。

A（2）：先证 $EA=EB$。E 在 $AD$ 的延长线上，射线 $AE$ 与射线 $AD$ 同向，故 $\angle EAB=\angle DAB=180^{\circ }-\angle DCB$（圆内接对角互补）$=\angle ECD=\angle EDC$。

同理射线 $BE$ 与射线 $BC$ 同向，故 $\angle EBA=\angle CBA=180^{\circ }-\angle ADC$（圆内接）$=\angle EDC$。故 $\angle EAB=\angle EBA$，$EA=EB$。

由 $EC=ED$，$E$ 在线段 $CD$ 的垂直平分线上；又 $F$，$G$ 都在直线 $CD$ 上且 $EF=EG$，$E$ 也在 $FG$ 的垂直平分线上——两条垂直平分线同为过 $E$ 且垂直于 $CD$ 的直线 $l^{\prime }$。

图形关于 $l^{\prime }$ 轴对称：$C\leftrightarrow D$，$F\leftrightarrow G$；又 $EA=EB$ 且射线 $EA$（经 $D$）与射线 $EB$（经 $C$）关于 $l^{\prime }$ 对称，故 $A\leftrightarrow B$。

于是 $\angle AEF=\angle BEG$，结合 $EA=EB$、$EF=EG$，得 $△EAF\cong △EBG$（SAS），故 $AF=BG$。

由（1）$AB\parallel CD$，而 $F$，$G$ 在直线 $CD$ 上，故 $AB\parallel FG$；又 $AF=BG$，四边形 $ABGF$ 是等腰梯形，等腰梯形对角互补、必内接于圆，故 $A$，$B$，$G$，$F$ 四点共圆。

B（1）：$C_1$ 消参得 $x^2+y^2=1$，是单位圆；$C_2$ 消参得 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$），是焦点在 $x$ 轴上的椭圆。

射线 $l:\theta =\alpha$ 与 $C_1$ 的交点极径恒为 ${\rho }_1=1$；与 $C_2$ 的交点满足 ${\rho }^2\left(\frac{{\cos }^2\alpha }{a^2}+\frac{{\sin }^2\alpha }{b^2}\right)=1$。

$\alpha =0$：两交点分别为 $(1,0)$ 与 $(a,0)$，距离 $a-1=2$，得 $a=3$。

$\alpha =\frac{\pi }{2}$：两交点分别为 $(0,1)$ 与 $(0,b)$，重合即 $b=1$。

故 $C_1$ 是单位圆，$C_2$ 是焦点在 $x$ 轴上的椭圆，$a=3$，$b=1$。

B（2）：$\alpha =\frac{\pi }{4}$：$A_1$ 在单位圆上，${\rho }_1=1$，$A_1=\left(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$；$B_1$ 满足 ${\rho }^2\cdot \frac{1}{2}\left(\frac{1}{9}+1\right)=1$，${\rho }^2=\frac{9}{5}$，$\rho =\frac{3\sqrt{5}}{5}$，$B_1=\left(\frac{3\sqrt{10}}{10},\frac{3\sqrt{10}}{10}\right)$。

$\alpha =-\frac{\pi }{4}$：由关于 $x$ 轴的对称性，$A_2=\left(\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$，$B_2=\left(\frac{3\sqrt{10}}{10},-\frac{3\sqrt{10}}{10}\right)$。

四边形 $A_1{A}_2{B}_2{B}_1$ 是等腰梯形：$|A_1{A}_2|=\sqrt{2}$，$|B_1{B}_2|=\frac{3\sqrt{10}}{5}$，高为 $\frac{3\sqrt{10}}{10}-\frac{\sqrt{2}}{2}$。

$S=\frac{1}{2}\left(\sqrt{2}+\frac{3\sqrt{10}}{5}\right)\left(\frac{3\sqrt{10}}{10}-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{3\sqrt{5}}{5}-1+\frac{9}{5}-\frac{3\sqrt{5}}{5}\right)=\frac{1}{2}\times \frac{4}{5}=\frac{2}{5}$。

C（1）：$f(x)=|x-2|-|x-5|$ 表示点 $x$ 到 $2$ 与到 $5$ 的距离之差。

当 $x⩾5$：$f=x-2-(x-5)=3$；当 $x⩽2$：$f=2-x-(5-x)=-3$；当 $2<x<5$：$f=(x-2)-(5-x)=2x-7\in (-3,3)$。

故 $-3⩽f(x)⩽3$。

C（2）：$x^2-8x+15=(x-3)(x-5)$。

$x⩾5$：$3⩾x^2-8x+15$，即 $x^2-8x+12⩽0$，$2⩽x⩽6$，与 $x⩾5$ 交得 $5⩽x⩽6$。

$2⩽x<5$：$2x-7⩾x^2-8x+15$，即 $x^2-10x+22⩽0$，$x⩾\frac{10-\sqrt{100-88}}{2}=5-\sqrt{3}$（另一根 $5+\sqrt{3}>5$ 舍），与 $2⩽x<5$ 交得 $5-\sqrt{3}⩽x<5$。

$x<2$：$-3⩾x^2-8x+15$，即 $x^2-8x+18⩽0$，判别式 $64-72<0$，无解。

综上，解集为 $[5-\sqrt{3},6]$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：圆内接四边形的外角与内对角；轴对称与等腰梯形共圆；参数方程与极坐标互化；绝对值函数的分段讨论

核心方法：A：等腰 $\to$ 对称 $\to$ 全等 $\to$ 等腰梯形；B：极径方程定 $a$，$b$，四点用对称性与梯形面积；C：按绝对值零点分三段，逐段解二次不等式

避坑指南：A 中圆内接四边形「对角互补」与「外角等于内对角」两种说法等价，选用顺手的那个并保持一致；B（1）的重合条件在 $\alpha =\frac{\pi }{2}$ 处（第（2）问才用 $\frac{\pi }{4}$，两处角度读串会解出 $b^2=\frac{9}{17}$ 的矛盾结果）；B(2) 的四个交点两两关于 $x$ 轴对称，鞋带公式与梯形公式结果须一致（$\frac{2}{5}$）；C(2) 中 $x<2$ 段二次不等式无解（判别式为负），不要硬写空集以外的区间。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：A 与 2011-新课标卷文-22、2013-陕西卷文-16 同族；B 与 2011-新课标卷文-23、2013-陕西卷文-17 同族；C 与 2011-新课标卷文-24、2014-重庆卷理-16 同族。

结论推广：推广：A 的模型「等腰 + 共线端点延长」必然产生轴对称结构，等腰梯形是共圆的代名词；B 中射线与参数曲线求交，用极径方程 $\rho (\alpha )$ 比联立参数更快；C 的 $|x-a|-|x-b|$ 在区间端点外恒为常数 $\pm |a-b|$，与二次函数比较时只需处理中间段与一侧端点段。

方法推广：三选一各模块固定入口：几何证明抓「等腰 + 圆内接四边形角转移」；参数方程先化极坐标或普通方程再算交点；绝对值不等式按零点分段、逐段与二次不等式取交。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 17.07 圆幂定理
• 18.16 参数方程与复数变换
• 03.04 绝对值不等式及排序不等式

类题演练 (Links)

• 2011-新课标卷文-22 解-相交弦与四点共圆
• 2011-新课标卷文-23 解-参数方程与极坐标
• 2011-新课标卷文-24 解-绝对值不等式