2009-江西卷文-08 单-等差数列基本量

本题导读

考查数列基本量。$a_4^2=a_3{a}_7$ 与 $d\ne 0$ 给出 $a_1=-\frac{3d}{2}$；$S_8=16d=32$，$d=2$，$S_{10}=-30+90=60$，选 C。

📌【题干】

Question

（2009年江西卷(文)） 公差不为零的等差数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$.若 $a_4$ 是 $a_3$ 与 $a_7$ 的等比中项，$S_8=32$，则 $S_{10}$ 等于 ()

A. $18$　　　　　　　B. $24$　　　　　　　C. $60$　　　　　　　D. $90$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 等比中项：$a_4^2=a_3\cdot a_7$，即 $(a_1+3d{)}^2=(a_1+2d)(a_1+6d)$。
2. 展开整理得 $-2a_{1}d=3d^2$，由 $d\ne 0$ 得 $a_1=-\frac{3d}{2}$。
3. $S_8=8a_1+28d=-12d+28d=16d=32$，得 $d=2$，$a_1=-3$。
4. $S_{10}=10a_1+45d=-30+90=60$。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

由 $a_4$ 是 $a_3$ 与 $a_7$ 的等比中项，得 $a_4^2=a_3\cdot a_7$， 即 $(a_1+3d{)}^2=(a_1+2d)(a_1+6d)$。 展开得 $a_1^2+6a_{1}d+9d^2=a_1^2+8a_{1}d+12d^2$，即 $-2a_{1}d=3d^2$。 因为 $d\ne 0$，所以 $a_1=-\frac{3d}{2}$。 又 $S_8=8a_1+\frac{8\times 7}{2}d=-12d+28d=16d=32$，得 $d=2$，$a_1=-3$。 故 $S_{10}=10a_1+\frac{10\times 9}{2}d=-30+90=60$。选 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等差数列的基本量与等比中项

核心方法：等比中项列平方关系，$S_8$ 定公差

避坑指南：$(a_1+3d{)}^2=(a_1+2d)(a_1+6d)$ 化简得 $-2a_{1}d=3d^2$；$d\ne 0$ 才能两边约去 $d$，这是本题隐藏的关键一步。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：等比中项条件写成 $a_4^2=a_3{a}_7$，展开后 $a_1^2$ 消掉。

结论推广：$S_8=8a_1+28d$，$S_{10}=10a_1+45d$，下标减一是公差个数。

方法推广：“公差不为零”排除了 $d=0$ 的退化解，约分前必须用到。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

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类题演练 (Links)

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• 2009-大纲卷I文-14 填-等差数列中项
• 2009-新课标卷文-08 单-等差数列中项求和
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