2009-江西卷文-12 单-公切线与切线方程

本题导读

考查切线方程。与 $y=x^3$ 相切且过 $(1,0)$ 的切线为 $y=0$ 与 $y=\frac{27}{4}x-\frac{27}{4}$；分别与 $y=a{x}^2+\frac{15}{4}x-9$ 相切得 $a=-\frac{25}{64}$ 与 $a=-1$，选 A。

📌【题干】

Question

（2009年江西卷(文)） 若存在过点 $(1,0)$ 的直线与曲线 $y=x^3$ 和 $y=a{x}^2+\frac{15}{4}x-9$ 都相切，则 $a$ 等于 ()

A. $-1$ 或 $-\frac{25}{64}$　B. $-1$ 或 $\frac{21}{4}$　C. $-\frac{7}{4}$ 或 $-\frac{25}{64}$　D. $-\frac{7}{4}$ 或 $\frac{7}{4}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设直线与 $y=x^3$ 相切于 $(t,t^3)$，切线 $y=3t^{2}x-2t^3$，代入 $(1,0)$ 得 $t=0$ 或 $t=\frac{3}{2}$。
2. $t=0$：切线 $y=0$。与抛物线相切须 $a{x}^2+\frac{15}{4}x-9=0$ 有重根，判别式 ${\left(\frac{15}{4}\right)}^2+36a=0$，得 $a=-\frac{25}{64}$。
3. $t=\frac{3}{2}$：切线 $y=\frac{27}{4}x-\frac{27}{4}$。与抛物线相切须 $a{x}^2-3x-\frac{9}{4}=0$ 有重根，判别式 $9+9a=0$，得 $a=-1$。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

设直线与 $y=x^3$ 相切于点 $(t,t^3)$。由 $y^{\prime }=3x^2$，切线方程为 $y-t^3=3t^2(x-t)$，即 $y=3t^{2}x-2t^3$。 代入点 $(1,0)$：$3t^2-2t^3=0$，得 $t=0$ 或 $t=\frac{3}{2}$。 当 $t=0$ 时，切线为 $y=0$。它与 $y=a{x}^2+\frac{15}{4}x-9$ 相切，须方程 $a{x}^2+\frac{15}{4}x-9=0$ 有重根， 即判别式 ${\left(\frac{15}{4}\right)}^2+36a=0$，解得 $a=-\frac{25}{64}$。 当 $t=\frac{3}{2}$ 时，切线为 $y=\frac{27}{4}x-\frac{27}{4}$。它与抛物线相切， 须 $a{x}^2+\frac{15}{4}x-9=\frac{27}{4}x-\frac{27}{4}$ 有重根，即 $a{x}^2-3x-\frac{9}{4}=0$ 有重根， 判别式 $9+9a=0$，解得 $a=-1$。 综上 $a=-1$ 或 $a=-\frac{25}{64}$。选 A。 （注：原卷选项 B 印 $\frac{21}{4}$，合集印 $\frac{21}{64}$，不影响本题答案。）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：切线方程与公切线

核心方法：先求与 $y=x^3$ 相切且过定点的所有直线，再逐条与抛物线相切

避坑指南：$t=0$ 与 $t=\frac{3}{2}$ 两条切线分别给出 $a=-\frac{25}{64}$ 与 $a=-1$；重根条件用判别式 $=0$，两条切线各出一个 $a$，别漏任何一个。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：“过点相切”与”在某点相切”不同：前者须设切点解出。

结论推广：$y=3t^{2}x-2t^3$ 是 $y=x^3$ 在切点 $(t,t^3)$ 的切线通式。

方法推广：抛物线与直线相切 $\iff$ 联立后二次方程判别式为零。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 20.01 导数定义与几何意义

类题演练 (Links)

• 2009-浙江卷文-21 解-导数切线与单调性
• 2009-北京卷文-18 解-导数切线与极值
• 2009-新课标卷文-13 填-指数曲线切线