2009-江西卷文-14 填-正方体与球

本题导读

考查旋转体。正方体棱长 $2$，全面积 $24=4\pi R^2$，$R=\sqrt{\frac{6}{\pi }}$，球体积 $\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{8\sqrt{6\pi }}{\pi }$。

📌【题干】

Question

（2009年江西卷(文)） 体积为 $8$ 的一个正方体，其全面积与球 $O$ 的表面积相等，则球 $O$ 的体积等于$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 正方体体积 $8$，棱长 $2$，全面积 $6\times 2^2=24$。
2. 球表面积 $4\pi R^2=24$，$R^2=\frac{6}{\pi }$。
3. $V=\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{4}{3}\pi R\cdot R^2=\frac{4}{3}\pi \sqrt{\frac{6}{\pi }}\cdot \frac{6}{\pi }=\frac{8\sqrt{6\pi }}{\pi }$。

✅【答案】

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$\frac{8\sqrt{6\pi }}{\pi }$

✍【详细解析】

Abstract

正方体体积为 $8$，棱长为 $2$，全面积为 $6\times 2^2=24$。 设球 $O$ 的半径为 $R$，由表面积相等得 $4\pi R^2=24$，即 $R^2=\frac{6}{\pi }$。 球的体积 $V=\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{4}{3}\pi R\cdot R^2=\frac{4}{3}\pi \cdot \frac{6}{\pi }\cdot \sqrt{\frac{6}{\pi }}=\frac{8}{\sqrt{\pi }}\cdot \sqrt{6}=\frac{8\sqrt{6\pi }}{\pi }$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：正方体与球的表面积体积

核心方法：棱长 → 全面积 → 球半径 → 球体积

避坑指南：$4\pi R^2=24$ 得 $R^2=\frac{6}{\pi }$；$V=\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{4}{3}\pi R\cdot R^2$ 避免 $R$ 的三次根式运算，是化简的巧劲。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：由表面积反求半径后，体积可写成 $\frac{4}{3}\pi R\cdot R^2$ 回代 $R^2$。

结论推广：正方体全面积 $=6\times$ 棱长平方。

方法推广：结果带 $\pi$ 与根号时，化成 $\frac{8\sqrt{6\pi }}{\pi }$ 这类单一形式再比对。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2009-上海卷文-06 填-球表面积比
• 2009-大纲卷II文-16 填-球截面与表面积
• 2009-大纲卷I文-15 填-球的截面