2009-江西卷文-16 填-直线系与圆

本题导读

考查直线系。$x\cos \theta +(y-2)\sin \theta =1$ 是圆 $x^2+(y-2{)}^2=1$ 的切线系；命题 A、B、C 真，D 假（取 $\theta$ 两组值围成的正三角形面积不等），答案 ABC。

📌【题干】

Question

（2009年江西卷(文)） 设直线系 $M:x\cos \theta +(y-2)\sin \theta =1$（$0⩽\theta ⩽2\pi$），对于下列四个命题： A. 存在一个圆与所有直线相交； B. 存在一个圆与所有直线不相交； C. 存在一个圆与所有直线相切； D. $M$ 中的直线所能围成的正三角形面积都相等. 其中真命题的代号是$\underline{}$.（写出所有真命题的代号）

🔍【思路分析】

破题导航

1. 令圆心 $O_1=(0,2)$，直线即 $\overrightarrow{O_{1}X}\cdot (\cos \theta ,\sin \theta )=1$，$M$ 是圆 $x^2+(y-2{)}^2=1$ 的全体切线。
2. A：同心的小圆（半径小于 $1$）与每条切线都相交，真。
3. B：圆心处的点圆（或半径大于 $1$ 且含圆心的圆取”不相交”含义时取同心大圆外侧均可），最直接取半径为 $0$ 的点圆即圆心，与每条切线都不相交，真。
4. C：单位圆 $x^2+(y-2{)}^2=1$ 本身与每条直线都相切，真。
5. D：取 $\theta =0,\frac{2\pi }{3},\frac{4\pi }{3}$ 与 $\theta =0,\frac{\pi }{3},\frac{2\pi }{3}$ 各围出一个正三角形，面积不同，假。

✅【答案】

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ABC

✍【详细解析】

Abstract

令圆心 $O_1=(0,2)$，则直线系中的直线可写为 $\overrightarrow{O_{1}X}\cdot (\cos \theta ,\sin \theta )=1$， 所以 $M$ 中的所有直线都是圆 $x^2+(y-2{)}^2=1$ 的切线。 A：取圆心为 $O_1$、半径小于 $1$ 的同心圆，它与每条切线都有两个公共点，相交，正确。 B：取圆心 $O_1$ 处的点圆（半径为 $0$），$O_1$ 到每条切线的距离均为 $1$，点不在直线上，不相交，正确。 C：圆 $x^2+(y-2{)}^2=1$ 本身与每条直线都相切，正确。 D：取 $\theta =0,\frac{2\pi }{3},\frac{4\pi }{3}$，三条切线围成的正三角形边长为 $2\sqrt{3}$，面积为 $3\sqrt{3}$； 取 $\theta =0,\frac{\pi }{3},\frac{2\pi }{3}$，三条切线也围成正三角形，但其边长为 $\frac{2}{\sqrt{3}}$，面积为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$。 两个面积不相等，D 错误。 故真命题的代号为 ABC。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：直线系与圆

核心方法：法向量点积识别切线系

避坑指南：$x\cos \theta +(y-2)\sin \theta =1$ 表示圆 $x^2+(y-2{)}^2=1$ 的全体切线；A、B、C 分别取同心小圆、点圆、该圆本身即可，D 用两组 $\theta$ 的面积反例否定。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：含 $\sin \theta$，$\cos \theta$ 的直线系先写成 $\overrightarrow{O_{1}X}\cdot (\cos \theta ,\sin \theta )=d$ 的形式。

结论推广：到定点距离恒为 $1$ 的直线系就是半径 $1$ 的圆的切线系。

方法推广：“存在一个圆”只须构造，不须唯一；点圆（半径 $0$）也是合法的圆。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 17.06 圆的切线与极点极线

类题演练 (Links)

• 2009-大纲卷II文-15 填-圆的切线围三角形
• 2012-辽宁卷文-22 解-圆的切线与相似
• 2013-广东卷文-07 单-圆的切线