2009-江西卷文-21 解-三角数列求和

本题导读

考查数列综合。$a_n=n^2\cos \frac{2n\pi }{3}$ 按 $3k-2$，$3k-1$，$3k$ 三段求和；$b_n=\frac{9n+4}{2\cdot 4^n}$，错位相减得 $T_n=\frac{8}{3}-\frac{1}{3\cdot 2^{2n-3}}-\frac{3n}{2^{2n+1}}$。

📌【题干】

Question

（2009年江西卷(文)） 数列 $\{a_n\}$ 的通项 $a_n=n^2\left({\cos }^2\frac{n\pi }{3}-{\sin }^2\frac{n\pi }{3}\right)$，其前 $n$ 项和为 $S_n$.

(1) 求 $S_n$；

(2) $b_n=\frac{S_{3n}}{n\cdot 4^n}$，求数列 $\{b_n\}$ 的前 $n$ 项和 $T_n$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. ${\cos }^2\frac{n\pi }{3}-{\sin }^2\frac{n\pi }{3}=\cos \frac{2n\pi }{3}$，随 $n\mathrm{mod}3$ 取 $-\frac{1}{2}$，$-\frac{1}{2}$，$1$。
2. 按 $n=3k-2$，$3k-1$，$3k$ 三段分别求和（利用 $a_{3j-2}+a_{3j-1}+a_{3j}=9j-\frac{5}{2}$ 整组累加）。
3. (2) 先算 $S_{3n}=\frac{n(9n+4)}{2}$，故 $b_n=\frac{9n+4}{2\cdot 4^n}$。
4. 错位相减：$T_n-\frac{1}{4}{T}_n$ 化为等比求和，整理得 $T_n=\frac{8}{3}-\frac{9n+16}{6\cdot 4^n}$，化成分母 $2$ 的幂形式。

✅【答案】

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(1) $S_n=\{\begin{array}{ll}-\frac{n}{3}-\frac{1}{6},& n=3k-2,\\ \frac{(n+1)(1-3n)}{6},& n=3k-1,\\ \frac{n(3n+4)}{6},& n=3k\end{array}$（$k\in {\mathbf{N}}^{\ast }$） (2) $T_n=\frac{8}{3}-\frac{1}{3\cdot 2^{2n-3}}-\frac{3n}{2^{2n+1}}$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 由二倍角公式，$a_n=n^2\cos \frac{2n\pi }{3}$。 当 $n=3k-2$ 或 $n=3k-1$ 时，$\cos \frac{2n\pi }{3}=-\frac{1}{2}$，$a_n=-\frac{n^2}{2}$； 当 $n=3k$ 时，$\cos \frac{2n\pi }{3}=1$，$a_n=n^2$。 对每一组 $j$：$a_{3j-2}+a_{3j-1}+a_{3j}=-\frac{(3j-2{)}^2}{2}-\frac{(3j-1{)}^2}{2}+9j^2=9j-\frac{5}{2}$。 当 $n=3k$ 时，$S_n=\sum _{j=1}^k\left(9j-\frac{5}{2}\right)=\frac{9k(k+1)}{2}-\frac{5k}{2}=\frac{9k^2+4k}{2}$。 以 $k=\frac{n}{3}$ 代入，得 $S_n=\frac{9\cdot \frac{n^2}{9}+4\cdot \frac{n}{3}}{2}=\frac{3n^2+4n}{6}=\frac{n(3n+4)}{6}$。 当 $n=3k-1$ 时，$S_n=S_{3k-2}+a_{3k-1}$；当 $n=3k-2$ 时，$S_n=S_{n-1}+a_n$（$n-1$ 为 $3$ 的倍数）。 整理得 $S_n=\{\begin{array}{ll}-\frac{n}{3}-\frac{1}{6},& n=3k-2,\\ \frac{(n+1)(1-3n)}{6},& n=3k-1,\\ \frac{n(3n+4)}{6},& n=3k\end{array}$（$k\in {\mathbf{N}}^{\ast }$）。 （验证：$S_1=-\frac{1}{2}$，$S_2=-\frac{5}{2}$，$S_3=\frac{13}{2}$，与逐项相加一致。） (2) $S_{3n}=\frac{3n(9n+4)}{6}=\frac{n(9n+4)}{2}$，故 $b_n=\frac{9n+4}{2\cdot 4^n}$。 $T_n=\sum _{k=1}^n\frac{9k+4}{2\cdot 4^k}$，用错位相减法： $\frac{1}{4}{T}_n=\sum _{k=1}^n\frac{9k+4}{2\cdot 4^{k+1}}$，两式相减整理得 $T_n=\frac{8}{3}-\frac{9n+16}{6\cdot 4^n}=\frac{8}{3}-\frac{8}{3\cdot 4^n}-\frac{3n}{2\cdot 4^n}=\frac{8}{3}-\frac{1}{3\cdot 2^{2n-3}}-\frac{3n}{2^{2n+1}}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：分段数列与错位相减

核心方法：按 $n\mathrm{mod}3$ 分组累加；$b_n$ 等差乘等比

避坑指南：整组技巧 $a_{3j-2}+a_{3j-1}+a_{3j}=9j-\frac{5}{2}$ 把三段合一，比逐段求通项再相加更快；错位相减后系数核对：$T_n$ 中 $\frac{9n+16}{6\cdot 4^n}$ 拆成两个分母为 $2$ 的幂。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：通项含 ${\cos }^2-{\sin }^2$ 先降幂成 $\cos \frac{2n\pi }{3}$，再按模 $3$ 分类。

结论推广：等差 $\times$ 等比型求和首选错位相减，差式公比为 $\frac{1}{4}$。

方法推广：分段求和结果用 $n=1,2,3$ 逐项验证（$-\frac{1}{2}$，$-\frac{5}{2}$，$\frac{13}{2}$）。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.04 数列求和核心方法与裂项模型
• 19.07 一般数列的性质

类题演练 (Links)

• 2009-北京卷文-10 填-等比数列求和
• 2009-新课标卷文-15 填-等比数列求和
• 2009-大纲卷II文-17 解-等差数列求和