2009-江西卷理-19 解-解三角形

本题导读

本题考查解三角形中的三角恒等变换与正余弦定理的综合应用。核心在于利用和差化积公式化简已知条件求出角 $C$，再利用正弦定理找出边长比例，结合面积公式求解边长。

📌【题干】

Question

（2009年江西卷(理)） $△ABC$ 中，$A,B,C$ 所对的边分别为 $a,b,c$，$\tan C=\frac{\sin A+\sin B}{\cos A+\cos B}$，$\sin (B-A)=\cos C$.

(1) 求 $A,C$；

(2) 若 $S_{△ABC}=3+\sqrt{3}$，求 $a,c$.

🔍【思路分析】

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1. 利用和差化积公式将 $\frac{\sin A+\sin B}{\cos A+\cos B}$ 化简为 $\tan \frac{A+B}{2}$，结合内角和定理得到 $\tan C=\cot \frac{C}{2}$，进而解出 $C$。将 $C$ 代入第二式即可求得 $A$。
2. 利用第一问求出的角 $A,B,C$，通过正弦定理得出 $a,c$ 的关系。再代入三角形面积公式 $S=\frac{1}{2}ac\sin B$ 即可解出具体边长。

✅【答案】

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（1）由三角形内角和得𝐴+𝐵=π−𝐶.由和差化积公式，有sin𝐴+sin𝐵=2cos𝐶2cos𝐵−𝐴2

✍【详细解析】

Abstract

(1) 由和差化积公式可得： $\frac{\sin A+\sin B}{\cos A+\cos B}=\frac{2\sin \frac{A+B}{2}\cos \frac{A-B}{2}}{2\cos \frac{A+B}{2}\cos \frac{A-B}{2}}=\tan \frac{A+B}{2}$ 因为 $A+B+C=\pi$，所以 $\frac{A+B}{2}=\frac{\pi }{2}-\frac{C}{2}$。 故 $\tan C=\tan \left(\frac{\pi }{2}-\frac{C}{2}\right)=\cot \frac{C}{2}$。 即 $\frac{\sin C}{\cos C}=\frac{\cos \frac{C}{2}}{\sin \frac{C}{2}}$，化简得 $\sin C\sin \frac{C}{2}=\cos C\cos \frac{C}{2}$， 移项得 $\cos \left(C+\frac{C}{2}\right)=0$，即 $\cos \frac{3C}{2}=0$。 因为 $C\in (0,\pi )$，所以 $\frac{3C}{2}\in \left(0,\frac{3\pi }{2}\right)$，解得 $\frac{3C}{2}=\frac{\pi }{2}$，即 $C=\frac{\pi }{3}$。 将 $C=\frac{\pi }{3}$ 代入 $\sin (B-A)=\cos C$ 中，得 $\sin (B-A)=\frac{1}{2}$。 因为 $A+B=\pi -C=\frac{2\pi }{3}$，所以 $B-A\in \left(-\frac{2\pi }{3},\frac{2\pi }{3}\right)$。 解得 $B-A=\frac{\pi }{6}$。 联立 $\{\begin{array}{l}B+A=\frac{2\pi }{3}\\ B-A=\frac{\pi }{6}\end{array}$，解得 $A=\frac{\pi }{4}$，$B=\frac{5\pi }{12}$。 故 $A=\frac{\pi }{4}$，$C=\frac{\pi }{3}$。

(2) 由 (1) 知，$A=\frac{\pi }{4}$，$B=\frac{5\pi }{12}$，$C=\frac{\pi }{3}$。 由正弦定理 $\frac{a}{\sin A}=\frac{c}{\sin C}$ 得： $a=c\cdot \frac{\sin \frac{\pi }{4}}{\sin \frac{\pi }{3}}=c\cdot \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{\sqrt{6}}{3}c$。 又 $\sin B=\sin \frac{5\pi }{12}=\sin \left(\frac{\pi }{4}+\frac{\pi }{6}\right)=\sin \frac{\pi }{4}\cos \frac{\pi }{6}+\cos \frac{\pi }{4}\sin \frac{\pi }{6}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$。 由三角形面积公式得 $S_{△ABC}=\frac{1}{2}ac\sin B$： $3+\sqrt{3}=\frac{1}{2}\left(\frac{\sqrt{6}}{3}c\right)\cdot c\cdot \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$ $3+\sqrt{3}=c^2\cdot \frac{6+2\sqrt{3}}{24}=c^2\cdot \frac{3+\sqrt{3}}{12}$ 解得 $c^2=12$，因为 $c>0$，所以 $c=2\sqrt{3}$。 将其代入 $a=\frac{\sqrt{6}}{3}c$，得 $a=\frac{\sqrt{6}}{3}\times 2\sqrt{3}=2\sqrt{2}$。 故 $a=2\sqrt{2}$，$c=2\sqrt{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：和差化积公式，两角和的正弦公式，正弦定理，三角形面积公式。
2. 核心方法：整体角代换（如 $A+B=\pi -C$），利用三角恒等式解方程。
3. 避坑指南：在解 $\cos \frac{3C}{2}=0$ 时，必须根据三角形内角的范围 $C\in (0,\pi )$ 限定 $\frac{3C}{2}$ 的范围，避免出现增根或多解。计算 $\sin \frac{5\pi }{12}$ 时，需熟练运用拆角技巧化为特殊角之和。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 典型的高考解三角形与三角恒等变换结合题，要求熟练掌握高次或和差形式的化简通法。
2. 结论推广: 遇到 $\sin A\pm \sin B$ 或 $\cos A\pm \cos B$ 形式的分式时，首选和差化积公式进行分解约分；遇到非特殊角如 $75^{\circ }(\frac{5\pi }{12})$ 或 $15^{\circ }(\frac{\pi }{12})$，通常拆分为 $45^{\circ }\pm 30^{\circ }$ 求解。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 07.02 三角函数的定义与诱导公式

类题演练 (Links)

• 2011-大纲卷文-18 解-正弦定理解三角形
• 2011-安徽卷文-16 解-正弦定理解三角形求高
• 2011-湖南卷文-17 解-正弦定理与三角最值