2009-浙江卷文-08 单-量词与函数奇偶

本题导读

考查量词与函数性质。$a=0$ 时 $f(x)=x^2$ 是偶函数，C 正确，选 C。

📌【题干】

Question

（2009年浙江卷(文)） 若函数 $f(x)=x^2+\frac{a}{x}$（$a\in \mathbf{R}$），则下列结论正确的是 ()

A. $\forall a\in \mathbf{R}$，$f(x)$ 在 $(0,+\infty )$ 上是增函数

B. $\forall a\in \mathbf{R}$，$f(x)$ 在 $(0,+\infty )$ 上是减函数

C. $\exists a\in \mathbf{R}$，$f(x)$ 是偶函数

D. $\exists a\in \mathbf{R}$，$f(x)$ 是奇函数

🔍【思路分析】

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1. $a>0$ 时 $x^2$ 增而 $\frac{a}{x}$ 减，A、B 的全称命题易被特值推翻。
2. 取 $a=0$：$f(x)=x^2$ 是偶函数，C 成立。
3. 奇函数需 $x^2$ 与 $\frac{a}{x}$ 同奇偶，$x^2$ 偶、$\frac{a}{x}$（$a\ne 0$）奇，叠加必非奇非偶。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

当 $a=1$ 时 $f(x)=x^2+\frac{1}{x}$ 在 $(0,+\infty )$ 上先减后增，A 假；当 $a=-1$ 时 $f(x)=x^2-\frac{1}{x}$ 单调递增，B 假。 当 $a=0$ 时 $f(x)=x^2$，是偶函数，C 真。 若 $f(x)$ 是奇函数，需 $f(-x)=-f(x)$ 对一切 $x\ne 0$ 成立：$x^2$ 是偶的，$\frac{a}{x}$（$a\ne 0$）是奇的，二者之和不可能为奇函数（偶 $+$ 奇 $=$ 非奇非偶），而 $a=0$ 时 $f(x)=x^2$ 是偶不是奇，D 假。 故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：全称量词与存在量词、函数的奇偶性

核心方法：特值检验存在性命题 + 结构分析否定

避坑指南：存在性命题一个特值即可成立：$a=0$ 时 $f(x)=x^2$ 是偶函数；$a\ne 0$ 时偶函数 $+$ 奇函数 $=$ 非奇非偶，奇函数无从谈起。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：量词命题真假判断常与函数性质结合。

结论推广：$\forall$ 命题举一反例即假，$\exists$ 命题举一正例即真。

方法推广：$x^2+\frac{a}{x}$ 型函数：$a=0$ 退化为纯偶函数，是关键特值。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 02.01 常用逻辑用语
• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 2009-辽宁卷文-11 单-量词与指对真命题
• 2009-辽宁卷文-12 单-偶函数单调解不等式
• 2011-上海卷文-15 单-偶函数单调性