2009-湖北卷文-01 单-向量线性表示

本题导读

考查向量分解。$3\mathbf{a}-\mathbf{b}=(3+1,3-1)=(4,2)=\mathbf{c}$，选 B。

📌【题干】

Question

（2009年湖北卷(文)） 若向量 $\mathbf{a}=(1,1)$，$\mathbf{b}=(-1,1)$，$\mathbf{c}=(4,2)$，则 $\mathbf{c}=$ ()

A. $3\mathbf{a}+\mathbf{b}$　　　　　B. $3\mathbf{a}-\mathbf{b}$　　　　　C. $-\mathbf{a}+3\mathbf{b}$　　　　　D. $\mathbf{a}+3\mathbf{b}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 逐项验证：$3\mathbf{a}+\mathbf{b}=(3-1,3+1)=(2,4)$，不合。
2. $3\mathbf{a}-\mathbf{b}=(3+1,3-1)=(4,2)=\mathbf{c}$，合题。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

$3\mathbf{a}+\mathbf{b}=(3-1,3+1)=(2,4)\ne \mathbf{c}$； $3\mathbf{a}-\mathbf{b}=(3-(-1),3-1)=(4,2)=\mathbf{c}$。 故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：平面向量的线性分解

核心方法：待定系数：设 $\mathbf{c}=x\mathbf{a}+y\mathbf{b}$，坐标比对

避坑指南：基向量坐标含 $\pm 1$，组合时横纵坐标的符号最容易错位，$3\mathbf{a}-\mathbf{b}$ 的纵坐标是 $3-1=2$ 不是 $3+1$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：向量分解题先算出 $x$，$y$（本题 $x=3$，$y=-1$），再对照选项，比逐项验证更快。

结论推广：验证时横、纵坐标分开写，别心算。

方法推广：一题多解时以坐标法最稳：$\mathbf{c}$ 的横坐标 $4$ 只能来自 $3\times 1-(-1)$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.02 平面向量的线性运算

类题演练 (Links)

• 2009-北京卷文-02 单-向量共线
• 2009-安徽卷文-14 填-向量基底分解
• 2009-天津卷文-15 填-向量基底数量积
• 2009-大纲卷II文-06 单-向量模长