2009-湖北卷文-06 单-三棱柱的高

本题导读

考查空间角。${\cos }^{2}60^{\circ }+{\cos }^{2}45^{\circ }+{\cos }^2\gamma =1$ 得 $\cos \gamma =\frac{1}{2}$，高 $=1\times \frac{1}{2}=\frac{1}{2}$，选 A。

📌【题干】

Question

（2009年湖北卷(文)） 如图，在三棱柱 $ABC-A_1{B}_1{C}_1$ 中，$\angle ACB=90^{\circ }$，$\angle AC{C}_1=60^{\circ }$，$\angle BC{C}_1=45^{\circ }$，侧棱 $C{C}_1$ 的长为 $1$，则该三棱柱的高等于 ()

A. $\frac{1}{2}$　　　　　　　B. $\frac{\sqrt{2}}{2}$　　　　　　　C. $\frac{\sqrt{3}}{2}$　　　　　　　D. $\frac{\sqrt{3}}{3}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. $CA$，$CB$，$C{C}_1$ 中 $CA\perp CB$，设 $C_1$ 在底面的射影为 $H$，三棱柱的高 $h=C{C}_1\cos \gamma$，$\gamma$ 为 $C{C}_1$ 与 $CH$ 的夹角。
2. 对两两垂直的三个方向用 ${\cos }^2\angle AC{C}_1+{\cos }^2\angle BC{C}_1+{\cos }^2\gamma =1$。
3. ${\cos }^{2}60^{\circ }+{\cos }^{2}45^{\circ }=\frac{1}{4}+\frac{1}{2}=\frac{3}{4}$，故 ${\cos }^2\gamma =\frac{1}{4}$，$\cos \gamma =\frac{1}{2}$，$h=1\times \frac{1}{2}=\frac{1}{2}$。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

设 $C_1$ 在底面 $ABC$ 上的射影为 $H$，则 $CH\perp CA$，$CH\perp CB$，三棱柱的高 $h=C{C}_1\cos \gamma$，其中 $\gamma =\angle C_{1}CH$。 由于 $CA\perp CB$，射线 $CA$，$CB$，$CH$ 两两垂直，$C{C}_1$ 与它们所成的角分别为 $60^{\circ }$，$45^{\circ }$，$\gamma$， 由 ${\cos }^2\alpha +{\cos }^2\beta +{\cos }^2\gamma =1$，得 ${\cos }^{2}60^{\circ }+{\cos }^{2}45^{\circ }+{\cos }^2\gamma =1$， 即 $\frac{1}{4}+\frac{1}{2}+{\cos }^2\gamma =1$，故 $\cos \gamma =\frac{1}{2}$。 所以高 $h=1\times \frac{1}{2}=\frac{1}{2}$，选 A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三棱柱与空间角

核心方法：三条两两垂直方向上的投影公式 ${\cos }^2\alpha +{\cos }^2\beta +{\cos }^2\gamma =1$

避坑指南：$C{C}_1$ 与 $CA$、$CB$、$CH$（高方向）所成角余弦平方和为 $1$，$\cos \gamma =\frac{1}{2}$，高 $=\frac{1}{2}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：求”斜线与高方向的夹角”时，把底面两条垂直方向的夹角都用上。

结论推广：侧棱长 $1$ 是斜线段，高是它在竖直方向的投影：$h=C{C}_1\cos \gamma$。

方法推广：验证：$h=\frac{1}{2}$ 明显小于侧棱 $1$，与图相符。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2009-上海卷文-05 填-正四棱柱异面直线角
• 2009-大纲卷II文-19 解-直三棱柱线面角
• 2009-北京卷文-07 单-正四棱柱线面角
• 2011-四川卷文-19 解-直三棱柱平行与二面角