2009-湖北卷文-11 填-二项式系数

本题导读

考查二项展开式。${\mathrm{C}}_5^{1}a=10$ 得 $a=2$，$b={\mathrm{C}}_5^2{a}^2=10\times 4=40$。

📌【题干】

Question

（2009年湖北卷(文)） 已知 $(1+ax{)}^5=1+10x+b{x}^2+\cdots +a^5{x}^5$，则 $b=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. $x$ 项系数 ${\mathrm{C}}_5^{1}a=5a=10$，得 $a=2$。
2. $x^2$ 项系数 $b={\mathrm{C}}_5^2{a}^2=10\times 4=40$。

✅【答案】

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$40$

✍【详细解析】

Abstract

由二项式定理，$(1+ax{)}^5$ 的展开式中 $x$ 项的系数为 ${\mathrm{C}}_5^{1}a=5a$， 由题意 $5a=10$，得 $a=2$。 $x^2$ 项的系数 $b={\mathrm{C}}_5^2{a}^2=10\times 2^2=40$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二项式定理与特定系数

核心方法：通项 $T_{r+1}={\mathrm{C}}_5^r(ax{)}^r$，先定 $a$ 再算 $b$

避坑指南：$x$ 项：${\mathrm{C}}_5^{1}a=10\Rightarrow a=2$；$x^2$ 项：$b={\mathrm{C}}_5^2{a}^2=10\times 4=40$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：系数比较型恒等式：逐项对号入座，先解低次项。

结论推广：$a$ 与 $b$ 是两个未知数，$x$ 项与 $x^2$ 项恰好各给一个方程。

方法推广：若题目给的是 $x^3$ 项系数，同理 ${\mathrm{C}}_5^3{a}^3$，套路不变。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 22.03 二项式定理全总结

类题演练 (Links)

• 2009-大纲卷I文-13 填-二项式系数
• 2009-大纲卷II文-14 填-二项展开式系数
• 2009-江西卷文-06 单-二项式定理整除
• 2011-湖北卷文-12 填-二项式特定项