2009-江西卷文-06 单-二项式定理整除

本题导读

考查二项式定理。$\sum _{k=1}^n{\mathrm{C}}_n^k{x}^k=(1+x{)}^n-1$，逐项验证，$x=5$，$n=4$ 时 $6^4-1=1295=7\times 185$，选 C。

📌【题干】

Question

（2009年江西卷(文)） 若 ${\mathrm{C}}_n^{1}x+{\mathrm{C}}_n^2{x}^2+\cdots +{\mathrm{C}}_n^n{x}^n$ 能被 $7$ 整除，则 $x$，$n$ 的值可能为 ()

A. $x=4$，$n=3$　　　B. $x=4$，$n=4$　　　C. $x=5$，$n=4$　　　D. $x=6$，$n=5$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由二项式定理，${\mathrm{C}}_n^{1}x+{\mathrm{C}}_n^2{x}^2+\cdots +{\mathrm{C}}_n^n{x}^n=(1+x{)}^n-1$。
2. 要被 $7$ 整除，须 $(1+x{)}^n-1$ 是 $7$ 的倍数，即 $(1+x{)}^n\equiv 1(\mathrm{mod}7)$。
3. 逐项验证：$x=5$，$n=4$ 时 $(1+x{)}^n-1=6^4-1=1295=7\times 185$，成立。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

由二项式定理，$(1+x{)}^n={\mathrm{C}}_n^0+{\mathrm{C}}_n^{1}x+{\mathrm{C}}_n^2{x}^2+\cdots +{\mathrm{C}}_n^n{x}^n$， 故原式 $=(1+x{)}^n-1$。 A：$5^3-1=124$，$124=7\times 17+5$，不整除； B：$5^4-1=624$，$624=7\times 89+1$，不整除； C：$6^4-1=1295=7\times 185$，整除； D：$7^5-1=16806$，$16806=7\times 2400+6$，不整除。 故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二项式定理与整除

核心方法：凑成 $(1+x{)}^n-1$ 整体判断

避坑指南：${\mathrm{C}}_n^{1}x+\cdots +{\mathrm{C}}_n^n{x}^n=(1+x{)}^n-1$；被 $7$ 整除即 $(1+x{)}^n\equiv 1(\mathrm{mod}7)$，逐项验证四个选项即可。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：组合数求和出现”缺首项”时，补上 ${\mathrm{C}}_n^0=1$ 凑成二项式定理。

结论推广：$6^4=1296$ 恰是 $7$ 的倍数加 $1$：$1296=7\times 185+1$。

方法推广：整除型选择题逐项代入验证往往比推导更快。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 22.03 二项式定理全总结

类题演练 (Links)

• 2009-大纲卷I文-13 填-二项式系数
• 2011-四川卷文-13 填-二项式特定项
• 2011-大纲卷文-13 填-二项式系数差
• 2011-重庆卷文-11 填-二项式特定项