2009-福建卷文-14 填-几何概型弧长

本题导读

考查几何概型。从 $A$ 沿圆周向两个方向各取长 $1$ 的弧，其上任意点 $B$ 都满足劣弧 $\widehat{AB}<1$，有利弧长 $2$，周长 $3$，概率 $\frac{2}{3}$。

📌【题干】

Question

（2009年福建卷(文)） 点 $A$ 为周长等于 $3$ 的圆周上的一个定点.若在该圆周上随机取一点 $B$，则劣弧 $\widehat{AB}$ 的长度小于 $1$ 的概率为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 劣弧 $\widehat{AB}$ 的长度小于 $1$，等价于 $B$ 在以 $A$ 为端点、两侧各长 $1$ 的弧上（不含对径点附近使劣弧达 $1.5$ 的部分）。
2. 周长 $3$，$1<\frac{3}{2}$，两段有利弧不重叠，长度共 $2$。
3. 概率 $=\frac{2}{3}$。

✅【答案】

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$\frac{2}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

从点 $A$ 出发，沿圆周向两个方向各取长度为 $1$ 的弧，所得两段弧上的点 $B$ 都满足劣弧 $\widehat{AB}$ 的长度小于 $1$。 因为圆周长为 $3$，且 $1<\frac{3}{2}$，这两段弧不重叠，端点是否取到不影响概率，所以有利弧长为 $2$。 因此所求概率为 $\frac{2}{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：几何概型与弧长测度

核心方法：有利弧长除以周长

避坑指南：定点 $A$ 两侧各长 $1$ 的弧上的点都满足劣弧小于 $1$；周长 $3$、单侧长 $1<\frac{3}{2}$，两段弧不重叠，测度比 $\frac{2}{3}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：圆上取点的概率常以弧长（或角度）为测度。

结论推广：先确认”有利区域”是否重叠、端点是否影响概率。

方法推广：劣弧长度的上界是半周 $\frac{3}{2}$，比较 $1$ 与 $\frac{3}{2}$ 决定能否直接相加。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 15.01 古典概型

类题演练 (Links)

• 2009-辽宁卷文-09 单-半圆几何概型
• 2009-安徽卷文-13 填-古典概型
• 2009-浙江卷文-17 填-古典概型