2009-安徽卷文-13 填-古典概型

本题导读

考查古典概型。四种取法中仅 $\{2,3,5\}$ 不构成三角形，$P=\frac{3}{4}$。

📌【题干】

Question

（2009年安徽卷(文)） 从长度分别为 $2$、$3$、$4$、$5$ 的四条线段中任意取出三条，则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 总取法 ${\mathrm{C}}_4^3=4$：$\{2,3,4\}$，$\{2,3,5\}$，$\{2,4,5\}$，$\{3,4,5\}$。
2. 只有 $2+3=5$ 的取法不构成三角形，其余三种均可。
3. $P=\frac{3}{4}$。

✅【答案】

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$\frac{3}{4}$

✍【详细解析】

Abstract

从四条线段中任取三条共有 ${\mathrm{C}}_4^3=4$ 种取法。三条线段能构成三角形的条件是最长边小于另外两边之和。 四种取法 $\{2,3,4\}$，$\{2,3,5\}$，$\{2,4,5\}$，$\{3,4,5\}$ 中，只有 $2+3=5$ 的取法不能构成三角形，其余三种均能构成三角形。 因此所求概率为 $\frac{3}{4}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：古典概型与三角形构成条件

核心方法：枚举四种取法验两边之和

避坑指南：${\mathrm{C}}_4^3=4$ 种等可能取法；只有 $2+3=5$ 不满足”两边之和大于第三边”，概率 $\frac{3}{4}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：古典概型第一步数清样本点总数。

结论推广：构成三角形的充要条件是最长边小于另两边之和。

方法推广：等长退化情形（$a+b=c$）构不成三角形，别当作能构成。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 15.01 古典概型

类题演练 (Links)

• 2009-上海卷文-11 填-组合概率对立事件
• 2009-江苏卷-05 填-古典概型
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