2009-福建卷理-01 单-三角恒等

本题导读

本题考查三角恒等变换（二倍角公式）、正弦函数的图象与性质，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2009年福建卷(理)） 函数 $f(x)=\sin x\cos x$ 的最小值是 ()

A. $-1$　　　　　　　B. $-\frac{1}{2}$　　　　　　　C. $\frac{1}{2}$　　　　　　　D. 1

🔍【思路分析】

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1. 利用二倍角正弦公式 $\sin 2x=2\sin x\cos x$ 将原函数化简为单一正弦函数。

2. 根据正弦函数的取值范围 $[-1,1]$ 确定其最小值。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

将原函数利用二倍角公式变形得： $f(x)=\sin x\cos x=\frac{1}{2}\sin 2x$. 因为对任意实数 $x$，恒有 $-1\le \sin 2x\le 1$， 所以 当 $\sin 2x=-1$ 时， $f(x)$ 取得最小值： $f(x{)}_{\min }=\frac{1}{2}\times (-1)=-\frac{1}{2}$. 故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：二倍角正弦公式的逆用及正弦函数的值域。

2. 核心方法：化一法（将不同名或不同角的三角函数式化为同名同角的形式）。

3. 避坑指南：注意不要忽略系数 $\frac{1}{2}$，避免错选 A。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于教材三角恒等变换章节的课后基础练习题，考查考生的基本运算公式记忆。

2. 结论推广：对于形如 $f(x)=a\sin x\cos x$ 的函数，其最值范围恒为 $\left[-\frac{|a|}{2},\frac{|a|}{2}\right]$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷理-08 填-三角函数
• 2011-北京卷理-15 解-三角函数
• 2011-大纲卷文-14 填-同角三角函数