2009-福建卷理-09 单-三角

本题导读

本题考查平面向量的数量积、平行四边形与三角形的面积公式，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2009年福建卷(理)） 设 $\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}$ 为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足 $\mathbf{a}$ 与 $\mathbf{b}$ 不共线， $\mathbf{a}\perp \mathbf{c}$， $|\mathbf{a}|=|\mathbf{c}|$，则 $|\mathbf{b}\cdot \mathbf{c}|$ 的值一定等于 ()

A. 以 $\mathbf{a},\mathbf{b}$ 为两边的三角形面积

B. 以 $\mathbf{b},\mathbf{c}$ 为两边的三角形面积

C. 以 $\mathbf{a},\mathbf{b}$ 为邻边的平行四边形的面积

D. 以 $\mathbf{b},\mathbf{c}$ 为邻边的平行四边形的面积

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设 $\mathbf{a}$ 与 $\mathbf{b}$ 的夹角为 $\theta$。利用以 $\mathbf{a},\mathbf{b}$ 为邻边的平行四边形面积公式写出其表达式为 $|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\sin \theta$。

2. 根据 $\mathbf{a}\perp \mathbf{c}$ 且模长相等，可知 $\mathbf{c}$ 可由 $\mathbf{a}$ 绕起点旋转 $90^{\circ }$ 得到，进而推导得出 $\mathbf{b}$ 与 $\mathbf{c}$ 夹角与 $\theta$ 的互余关系。

3. 展开数量积 $|\mathbf{b}\cdot \mathbf{c}|$，利用诱导公式转换三角函数名并与面积公式作比对。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

设向量 $\mathbf{a}$ 与 $\mathbf{b}$ 的夹角为 $\theta$（因为不共线，所以 $\theta \in (0,\pi )$）。 以 $\mathbf{a},\mathbf{b}$ 为邻边的平行四边形的面积为： $S=|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\sin \theta$. 因为 $\mathbf{a}\perp \mathbf{c}$，且 $|\mathbf{a}|=|\mathbf{c}|$， 所以向量 $\mathbf{c}$ 可以看作是向量 $\mathbf{a}$ 绕起点逆时针或顺时针旋转 $90^{\circ }$ 后得到的。 此时，向量 $\mathbf{b}$ 与 $\mathbf{c}$ 的夹角为 $\frac{\pi }{2}-\theta$ 或 $\frac{\pi }{2}+\theta$。 根据向量数量积的定义有： $|\mathbf{b}\cdot \mathbf{c}|=|\mathbf{b}||\mathbf{c}||\cos ⟨\mathbf{b},\mathbf{c}⟩|$. 代入夹角及模长相等条件得： $|\mathbf{b}\cdot \mathbf{c}|=|\mathbf{b}||\mathbf{a}|\left|\cos \left(\frac{\pi }{2}\pm \theta \right)\right|=|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\sin \theta$. 显然，这与以 $\mathbf{a},\mathbf{b}$ 为邻边的平行四边形的面积 $S$ 完全相等。 故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：平面向量数量积的代数运算公式及三角几何面积模型的互化。

2. 核心方法：旋转变换法。将垂直且等模的条件抽象为直角坐标系轴向的旋转。

3. 避坑指南：容易混淆平行四边形面积公式（底乘高，含 $\sin \theta$）与数量积公式（含 $\cos \theta$），同时必须分清是“三角形面积”还是“平行四边形面积”，避免错选 A。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于解析几何中向量外积（叉乘）概念的高观点微型化呈现。在二维平面内，两条向量的外积模长即为它们围成的平行四边形面积，而通过将其中一条底边向量正交旋转 $90^{\circ }$ 即可将外积转化为内积（数量积）。

2. 结论推广：若平面内有两垂直且等长的向量满足 $\mathbf{u}\perp \mathbf{v}$，则对于任意第三条向量 $\mathbf{w}$，恒有 $|\mathbf{w}\cdot \mathbf{u}|=|\mathbf{w}\times \mathbf{v}|$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.01 平面向量基本概念

类题演练 (Links)

• 2012-江苏卷-15 解-向量与解三角形
• 2013-陕西卷文-18 解-向量与三角最值
• 2011-上海卷文-05 填-法向量直线方程