2012-江苏卷-15 解-向量与解三角形

本题导读

本题考查平面向量的数量积。核心在于定义法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2012年江苏卷） 在 $△ABC$ 中，已知 $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=3\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC}$.

(1) 求证：$\tan B=3\tan A$；

(2) 若 $\cos C=\frac{\sqrt{5}}{5}$，求 $A$ 的值.

🔍【思路分析】

破题导航

(1) 数量积化边角后用正弦定理弦化切即得；(2) $\tan (A+B)=-2$ 与 $\tan B=3\tan A$ 联立解出 $\tan A=1$，故 $A=\frac{\pi }{4}$。

✅【答案】

点击查看答案

(1) 见解析；(2) $A=\frac{\pi }{4}$

✍【详细解析】

Abstract

（1）记三角形 $ABC$ 的边长分别为 $a=BC$，$b=CA$，$c=AB$。由向量数量积的定义，题设等式化为 $bc\cos A=3ac\cos B$。

若 $\cos A=0$，则上式推出 $\cos B=0$，这与三角形内角和为 $\pi$ 矛盾；若 $\cos B=0$，同理可推出 $\cos A=0$，也矛盾。所以 $\cos A\ne 0$，$\cos B\ne 0$。

将上式除以 $ac$，并由正弦定理 $\frac{b}{a}=\frac{\sin B}{\sin A}$，得 $\frac{b}{a}\cos A=3\cos B$，于是 $\frac{\sin B}{\sin A}\cos A=3\cos B$。两边同除以 $\cos B$，再乘以 $\frac{\sin A}{\cos A}$，得到 $\tan B=3\tan A$。

（2）因为 $\cos C=\frac{\sqrt{5}}{5}>0$，所以 $C$ 为锐角，且 $\sin C=\frac{2\sqrt{5}}{5}$，又 $\tan C=2$。由 $A+B=\pi -C$，所以 $\tan (A+B)=-\tan C=-2$。令 $t=\tan A$，由第（1）问得 $\tan B=3t$，从而 $\frac{4t}{1-3t^2}=-2$。

由于 $A+B=\pi -C\ne \frac{\pi }{2}$，上式的分母不为零，整理得 $3t^2-2t-1=0$，即 $(3t+1)(t-1)=0$。若 $t=-\frac{1}{3}$，则 $A$、$B$ 均为钝角，不能构成三角形；故 $t=1$。因此 $A=\frac{\pi }{4}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：数量积的定义（边角互化）；正弦定理；$\tan (A+B)$ 公式与三角形内角约束

核心方法：向量条件一律先化成边角关系；求角时设 $t=\tan A$ 化为方程并检验三角形内角的合理性

避坑指南：$\tan (A+B)=\frac{4t}{1-3t^2}=-2$ 解出 $t=1$ 或 $t=-\frac{1}{3}$，后者使 $A$、$B$ 同为钝角须舍去——不检验内角范围会得出增根。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：向量条件解三角形题，与 2012 年天津卷文第 16 题、2012 年新课标Ⅰ文第 17 题同族。

结论推广：一般地，$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=\lambda \overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC}$ 可化为 $\tan B=\lambda \tan A$ 型关系；向量条件加角平分线/比例条件常能定出特殊角。

方法推广：向量+解三角形大题：数量积定义转边角 → 正余弦定理化边为角 → 求角时整体设 $\tan$ 并用内角范围取舍根。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 09.01 平面向量基本概念
• 11.01 正弦定理

类题演练 (Links)

• 2012-天津卷文-16 解-正余弦定理与二倍角
• 2012-新课标卷文-17 解-正余弦定理解三角形
• 2012-重庆卷文-13 填-余弦定理与正弦定理