2009-福建卷理-17 解-线面位置

本题导读

本题考查空间直角坐标系的建立、异面直线所成的角。核心在于正确理解题意并选用恰当方法求解。

📌【题干】

Question

（2009年福建卷(理)） 如图，四边形 $ABCD$ 是边长为 1 的正方形， $MD\perp$ 平面 $ABCD$， $NB\perp$ 平面 $ABCD$，且 $MD=NB=1$， $E$ 为 $BC$ 的中点.

(1) 求异面直线 $NE$ 与 $AM$ 所成角的余弦值；

(2) 在线段 $AN$ 上是否存在点 $S$，使得 $ES\perp$ 平面 $AMN$？若存在，求线段 $AS$ 的长；若不存在，请说明理由.

🔍【思路分析】

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1. 第一问：根据正方形及两条侧棱垂直于底面的几何特征，以 $D$ 为原点建立空间直角坐标系，写出各点坐标，利用向量夹角公式求解异面直线所成角。

2. 第二问：设 $\overrightarrow{AS}=\lambda \overrightarrow{AN}$ ($0\le \lambda \le 1$)，用参数 $\lambda$ 表示出点 $S$ 的坐标及向量 $\overrightarrow{ES}$，根据线面垂直的充要条件（ $\overrightarrow{ES}\cdot \overrightarrow{AM}=0$ 且 $\overrightarrow{ES}\cdot \overrightarrow{AN}=0$）列出关于 $\lambda$ 的方程，求解并确定其几何位置。

✅【答案】

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异面直线𝑁𝐸与𝐴𝑀所成角的余弦值为√1010；存在点𝑆，且𝐴𝑆=√22.

✍【详细解析】

Abstract

(1) 解： 因为四边形 $ABCD$ 是边长为 1 的正方形，且 $MD\perp$ 平面 $ABCD$， 所以可以 $D$ 为原点， $DA,DC,DM$ 所在直线分别为 $x,y,z$ 轴建立空间直角坐标系。 依题意可得各点坐标为： $D(0,0,0),A(1,0,0),C(0,1,0),B(1,1,0),M(0,0,1)$。 因为 $NB\perp$ 平面 $ABCD$ 且 $NB=1$，所以 $N(1,1,1)$。 又 $E$ 为 $BC$ 的中点，故 $E\left(\frac{1}{2},1,0\right)$。 可得向量： $\overrightarrow{NE}=\left(\frac{1}{2},1,0\right)-(1,1,1)=\left(-\frac{1}{2},0,-1\right)$， $\overrightarrow{AM}=(0,0,1)-(1,0,0)=(-1,0,1)$。 则 $|\overrightarrow{NE}|=\sqrt{{\left(-\frac{1}{2}\right)}^2+0^2+(-1{)}^2}=\frac{\sqrt{5}}{2}$， $|\overrightarrow{AM}|=\sqrt{(-1{)}^2+0^2+1^2}=\sqrt{2}$， $\overrightarrow{NE}\cdot \overrightarrow{AM}=\left(-\frac{1}{2}\right)\times (-1)+0\times 0+(-1)\times 1=-\frac{1}{2}$。 设异面直线 $NE$ 与 $AM$ 所成的角为 $\theta$，则： $\cos \theta =\frac{|\overrightarrow{NE}\cdot \overrightarrow{AM}|}{|\overrightarrow{NE}||\overrightarrow{AM}|}=\frac{|-\frac{1}{2}|}{\frac{\sqrt{5}}{2}\times \sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{10}}{10}$。 即异面直线 $NE$ 与 $AM$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{10}}{10}$。

(2) 解： 假设线段 $AN$ 上存在点 $S$ 满足要求，设 $\overrightarrow{AS}=\lambda \overrightarrow{AN}$ ($0\le \lambda \le 1$)。 因为 $\overrightarrow{AN}=(1,1,1)-(1,0,0)=(0,1,1)$， 所以 $\overrightarrow{AS}=(0,\lambda ,\lambda )$，则点 $S$ 的坐标为 $(1,\lambda ,\lambda )$。 可得： $\overrightarrow{ES}=(1,\lambda ,\lambda )-\left(\frac{1}{2},1,0\right)=\left(\frac{1}{2},\lambda -1,\lambda \right)$。 要使 $ES\perp$ 平面 $AMN$，只需满足 $\overrightarrow{ES}\perp \overrightarrow{AM}$ 且 $\overrightarrow{ES}\perp \overrightarrow{AN}$，即： $\{\begin{array}{l}\overrightarrow{ES}\cdot \overrightarrow{AM}=0\\ \overrightarrow{ES}\cdot \overrightarrow{AN}=0\end{array}$ 由 $\overrightarrow{ES}\cdot \overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\times (-1)+(\lambda -1)\times 0+\lambda \times 1=0⟹\lambda =\frac{1}{2}$。 将 $\lambda =\frac{1}{2}$ 代入第二式验证： $\overrightarrow{ES}\cdot \overrightarrow{AN}=\frac{1}{2}\times 0+\left(\frac{1}{2}-1\right)\times 1+\frac{1}{2}\times 1=0-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=0$，恒成立。 因为 $\lambda =\frac{1}{2}\in [0,1]$，所以在线段 $AN$ 上确实存在点 $S$（即 $AN$ 的中点）使得 $ES\perp$ 平面 $AMN$。 此时线段 $AS$ 的长为： $|AS|=\frac{1}{2}|\overrightarrow{AN}|=\frac{1}{2}\sqrt{0^2+1^2+1^2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：空间向量直角坐标系的建立、异面直线夹角公式、线面垂直的向量判定法则。

2. 核心方法：建系代数化法，引入参数 $\lambda$ 解决点在线段上的存在性探索问题。

3. 避坑指南：求异面直线夹角时切记要加绝对值符号，夹角范围必在 $\left(0,\frac{\pi }{2}\right]$；在探索线段上的点时，求出参数后必须回代检验其是否在范围 $[0,1]$ 内，否则该点移出线段将导致“不存在”的结论。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于教材中关于“利用空间向量解决垂直与夹角”的经典课后复习题。通过引入不对称的双侧垂直立柱（$MD$ 与 $NB$），打破了常规正方体的对称结构，重点考查代数运算精细度。

2. 结论推广：在底面边长为 1 且侧棱垂直于底面的柱体结构中，若满足两高相等且为 1，则斜对角线段的中点常具备与对侧元素构成正交垂直的优美几何拓扑性质。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

异面直线𝑁𝐸与𝐴𝑀所成角的余弦值为√1010；存在点𝑆，且𝐴𝑆=√22.

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷理-21 解-线面角
• 2011-四川卷理-19 解-三棱柱线面
• 2011-大纲卷文-20 解-四棱锥线面垂直与线面角