2009-辽宁卷文-09 单-半圆几何概型

本题导读

考查几何概型。矩形面积 $2$，点落在以 $O$ 为圆心、半径 $1$ 的半圆内时距离不大于 $1$，$P=1-\frac{\pi /2}{2}=1-\frac{\pi }{4}$。

📌【题干】

Question

（2009年辽宁卷(文)） $ABCD$ 为长方形，$AB=2$，$BC=1$，$O$ 为 $AB$ 的中点.在长方形 $ABCD$ 内随机取一点，取到的点到 $O$ 的距离大于 $1$ 的概率为 ()

A. $\frac{\pi }{4}$　　　　　　　B. $1-\frac{\pi }{4}$　　　　　　　C. $\frac{\pi }{8}$　　　　　　　D. $1-\frac{\pi }{8}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 矩形面积 $2\times 1=2$；到 $O$ 距离不大于 $1$ 的点构成以 $O$ 为圆心、半径 $1$ 的半圆（圆心在长边 $AB$ 上），面积 $\frac{\pi }{2}$。
2. $P(\text{距离}>1)=1-\frac{\pi /2}{2}=1-\frac{\pi }{4}$。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

长方形面积 $S=2\times 1=2$。 以 $O$ 为圆心、$1$ 为半径的圆落在长方形内的部分是以 $AB$ 为直径的半圆（因为 $AB=2$ 恰为直径，$BC=1$ 等于半径，半圆完全含于长方形），面积 $\frac{1}{2}\pi \times 1^2=\frac{\pi }{2}$。 由几何概型，取到的点到 $O$ 距离大于 $1$ 的概率 $P=1-\frac{\pi /2}{2}=1-\frac{\pi }{4}$，选 B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：几何概型（面积型）

核心方法：补集思想：半圆面积比矩形面积

避坑指南：“距离大于 $1$“用对立事件算：半圆面积 $\frac{\pi }{2}$，$P=1-\frac{\pi /2}{2}$；直接算矩形内圆外面积容易出错。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：线段中点为圆心的半圆概型是几何概型经典题。

结论推广：$O$ 在 $AB$ 上且 $AB=2$ 恰为直径，半圆完全含于矩形。

方法推广：概率 $=\frac{\text{圆外部分面积}}{\text{矩形面积}}=1-\frac{\pi /2}{2}=1-\frac{\pi }{4}$，选项里的 $\frac{\pi }{4}$ 是”不大于”方向的答案。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 15.01 古典概型

类题演练 (Links)

• 2011-湖南卷文-15 填-圆与直线几何概型
• 2011-福建卷文-07 单-几何概型面积
• 2012-北京卷文-03 单-几何概型面积