2009-辽宁卷文-13 填-平行四边形向量坐标

本题导读

考查向量坐标。平行四边形 $ABCD$ 中 $\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}=(-2,0)+(8,6)-(6,8)=(0,-2)$。

📌【题干】

Question

（2009年辽宁卷(文)） 在平面直角坐标系 $xOy$ 中，四边形 $ABCD$ 的边 $AB\parallel DC$，$AD\parallel BC$.已知点 $A(-2,0)$，$B(6,8)$，$C(8,6)$，则 $D$ 点的坐标为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. $AB\parallel DC$ 且 $AD\parallel BC$，四边形 $ABCD$ 是平行四边形。
2. 对角线互相平分：$\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}=(0,-2)$。

✅【答案】

点击查看答案

$(0,-2)$

✍【详细解析】

Abstract

由 $AB\parallel DC$，$AD\parallel BC$ 知四边形 $ABCD$ 为平行四边形，对角线 $AC$ 与 $BD$ 互相平分。 故 $\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}=(-2,0)+(8,6)-(6,8)=(0,-2)$。 所以 $D$ 点坐标为 $(0,-2)$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：平面向量的坐标运算

核心方法：平行四边形对角线向量定理

避坑指南：$\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}$ 来自对角线互相平分（$\overrightarrow{OB}$ 是两条对角线向量和的一半的 $2$ 倍），别写成全加。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：平行四边形顶点坐标互求用向量最快。

结论推广：$A+C=B+D$（顶点向量两两配对和相等）。

方法推广：代数验证：$(0,-2)+(6,8)=(-2,0)+(8,6)=(6,6)$ 成立，写完代回检验一步到位。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.04 平面向量的坐标运算

类题演练 (Links)

• 2013-江苏卷-15 解-向量坐标运算
• 2013-辽宁卷理-03 单-向量坐标
• 2013-湖北卷理-06 单-向量坐标