2009-辽宁卷文-20 解-独立性检验优质品率

本题导读

考查统计与独立性检验。甲厂优质品率 $\frac{360}{500}=72\%$，乙厂 $\frac{320}{500}=64\%$；${\chi }^2\approx 7.35>6.635$，有 $99\%$ 的把握认为质量有差异。

📌【题干】

Question

（2009年辽宁卷(文)） 某企业有两个分厂生产某种零件，按规定内径尺寸（单位：mm）的值落在 $[29.94,30.06]$ 的零件为优质品.从两个分厂生产的零件中各抽出 $500$ 件，量其内径尺寸，得结果如下表： 甲厂：

分组	频数
$[29.86,29.90)$	$12$
$[29.90,29.94)$	$63$
$[29.94,29.98)$	$86$
$[29.98,30.02)$	$182$
$[30.02,30.06)$	$92$
$[30.06,30.10)$	$61$
$[30.10,30.14)$	$4$
乙厂：
分组	频数
---	---
$[29.86,29.90)$	$29$
$[29.90,29.94)$	$71$
$[29.94,29.98)$	$85$
$[29.98,30.02)$	$159$
$[30.02,30.06)$	$76$
$[30.06,30.10)$	$62$
$[30.10,30.14)$	$18$

(1)试分别估计两个分厂生产的零件的优质品率；

(2)由以上统计数据填写下面 $2\times 2$ 列联表，并问是否有 $99\%$ 的把握认为”两个分厂生产的零件的质量有差异”.

	甲厂	乙厂	合计
优质品
非优质品
合计
附：${\chi }^2=\frac{n(n_{11}{n}_{22}-n_{12}{n}_{21}{)}^2}{n_{1+}{n}_{2+}{n}_{+1}{n}_{+2}}$，
$P({\chi }^2⩾k)$	$0.05$	$0.01$
---	---	---
$k$	$3.841$	$6.635$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 优质品对应第三、四、五组：甲厂 $86+182+92=360$，优质品率 $\frac{360}{500}=72\%$；乙厂 $85+159+76=320$，优质品率 $64\%$。
2. 列联表：甲优质 $360$、非优质 $140$；乙优质 $320$、非优质 $180$。
3. ${\chi }^2=\frac{1000(360\times 180-320\times 140{)}^2}{500\times 500\times 680\times 320}\approx 7.35>6.635$。

✅【答案】

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(1) 甲厂约 $72\%$，乙厂约 $64\%$；(2)有 $99\%$ 的把握认为两个分厂生产的零件的质量有差异

✍【详细解析】

Abstract

（1）按连续分组的题意，优质品对应第三、四、五组。 甲厂优质品 $86+182+92=360$ 件，优质品率估计为 $\frac{360}{500}=72\%$。 乙厂优质品 $85+159+76=320$ 件，优质品率估计为 $\frac{320}{500}=64\%$。 （2）列联表：

	甲厂	乙厂	合计
优质品	$360$	$320$	$680$
非优质品	$140$	$180$	$320$
合计	$500$	$500$	$1000$
${\chi }^2=\frac{1000\times (360\times 180-320\times 140{)}^2}{500\times 500\times 680\times 320}=\frac{1000\times 20000^2}{5.44\times 10^{10}}\approx 7.35$。
由于 $7.35>6.635$，故有 $99\%$ 的把握认为两个分厂生产的零件的质量有差异。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：独立性检验与用样本估计总体

核心方法：频数求比率 + 列联表算 ${\chi }^2$ 与临界值比较

避坑指南：优质品区间是连续的三组 $[29.94,30.06)$；${\chi }^2$ 公式分子是 $(n_{11}{n}_{22}-n_{12}{n}_{21}{)}^2$，平方别漏，结果 $7.35$ 与 $6.635$ 比较。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：频率分布 + 独立性检验是统计解答题标准组合。

结论推广：${\chi }^2=\frac{n(ad-bc{)}^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$。

方法推广：结论措辞是”有 $99\%$ 的把握认为两总体有差异”，不能写成”$99\%$ 的概率”。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 14.03 频率分布直方图中的数据计算
• 15.02 随机事件、关系与独立性

类题演练 (Links)

• 2011-湖南卷文-05 单-独立性检验
• 2009-新课标卷文-19 解-分层抽样与频率分布
• 2011-湖南卷文-18 解-频率分布与概率