2009-辽宁卷理-16 填-双曲线

本题导读

本题考查双曲线定义的综合应用。利用双曲线的第一定义，将双曲线右支上的动点到左焦点的距离 $|PF|$ 转化为到右焦点 $|P{F}^{\prime }|$ 的距离，再结合几何中的三角形三边关系或两点间距离求解最值，是解析几何中极具代表性的化归技巧。

📌【题干】

Question

（2009年辽宁卷(理)） 已知 $F$ 是双曲线 $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{12}=1$ 的左焦点，$A(1,4)$，$P$ 是双曲线右支上的动点，则 $|PF|+|PA|$ 的最小值为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由双曲线的标准方程，求出其基本量 $a,b,c$，并确定右焦点 $F^{\prime }$ 的坐标。
2. 利用双曲线的定义，对于右支上的动点 $P$，有 $|PF|-|P{F}^{\prime }|=2a$，将 $|PF|$ 转化为 $2a+|P{F}^{\prime }|$。
3. 将所求式子变形为 $2a+|P{F}^{\prime }|+|PA|$。当且仅当 $P,A,F^{\prime }$ 三点共线时，根据“两点之间线段最短”，$|P{F}^{\prime }|+|PA|$ 取得最小值 $|A{F}^{\prime }|$。

✅【答案】

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$9$

✍【详细解析】

Abstract

由双曲线方程 $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{12}=1$ 可知： $a^2=4⟹a=2$， $b^2=12⟹c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{4+12}=4$。 所以左焦点 $F(-4,0)$，右焦点 $F^{\prime }(4,0)$。 因为 $P$ 是双曲线右支上的动点，根据双曲线的第一定义： $|PF|-|P{F}^{\prime }|=2a=4$ 即 $|PF|=|P{F}^{\prime }|+4$。 所以，代入所求式得： $|PF|+|PA|=|P{F}^{\prime }|+|PA|+4$ 因为 $A(1,4)$，当且仅当 $P,A,F^{\prime }$ 三点共线（且 $P$ 在线段 $A{F}^{\prime }$ 的延长线上，由于 $A$ 在双曲线内部，此状态显然可以取得）时， $|P{F}^{\prime }|+|PA|$ 取得最小值，最小值为两定点 $A,F^{\prime }$ 之间的距离 $|A{F}^{\prime }|$。 计算 $A(1,4)$ 到 $F^{\prime }(4,0)$ 的距离： $|A{F}^{\prime }|=\sqrt{(4-1{)}^2+(0-4{)}^2}=\sqrt{3^2+(-4{)}^2}=5$。 因此，$|PF|+|PA|$ 的最小值为： $|A{F}^{\prime }|+4=5+4=9$。 故答案为：$9$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：双曲线的第一定义，平面两点间的距离公式。
2. 核心方法：利用定义将双曲线上点到一个焦点的距离“折返转化”为到另一个焦点的距离。
3. 避坑指南：

• 极易混淆双曲线定义中的正负号，记住“左支/右支”上 $|PF|$ 与 $|P{F}^{\prime }|$ 的大小关系。因为 $P$ 在右支上，所以 $P$ 离右焦点 $F^{\prime }$ 更近，即 $|PF|>|P{F}^{\prime }|$，故 $|PF|=|P{F}^{\prime }|+2a$。
• 转化后，要通过画图确定点 $A$ 的相对位置。若点 $A$ 在双曲线内部，则当且仅当三点共线时取得线段和的最小值。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 经典的“双曲线定义与距离最值”模型。
2. 结论推广:

• 对于双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 右支上动点 $P$：$|PF|+|PA|⩾2a+|A{F}^{\prime }|$（当且仅当 $P,A,F^{\prime }$ 三点共线时取等，其中 $F$ 为左焦点，$F^{\prime }$ 为右焦点）。
• 该模型常与抛物线（结合焦半径与准线距离）、椭圆（结合 $|P{F}_1|+|P{F}_2|=2a$）进行联动命题。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 07.02 三角函数的定义与诱导公式

类题演练 (Links)

• 2012-大纲卷文-10 单-双曲线焦点三角形
• 2012-辽宁卷文-15 填-双曲线焦点三角形垂直
• 2013-湖南卷文-14 填-双曲线焦点三角形