2009-重庆卷文-05 单-等差等比求和

本题导读

考查等差等比综合。$(2+2d{)}^2=2(2+5d)$ 得 $d=\frac{1}{2}$，$a_n=\frac{n+3}{2}$，$S_n=\frac{n^2}{4}+\frac{7n}{4}$，选 A。

📌【题干】

Question

（2009年重庆卷(文)） 设 $\{a_n\}$ 是公差不为 $0$ 的等差数列，$a_1=2$ 且 $a_1,a_3,a_6$ 成等比数列，则 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n=$ ()

A. $\frac{n^2}{4}+\frac{7n}{4}$　　　　B. $\frac{n^2}{3}+\frac{5n}{3}$　　　　C. $\frac{n^2}{2}+\frac{3n}{4}$　　　　D. $n^2+n$

🔍【思路分析】

破题导航

1. $a_3=2+2d$，$a_6=2+5d$。
2. 等比条件 $(2+2d{)}^2=2(2+5d)$，即 $4d^2-2d=0$，$d=\frac{1}{2}$。
3. $a_n=2+\frac{n-1}{2}=\frac{n+3}{2}$，$S_n=\frac{n}{2}\left(2+\frac{n+3}{2}\right)=\frac{n^2}{4}+\frac{7n}{4}$。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

设等差数列的公差为 $d$，则 $a_3=2+2d$，$a_6=2+5d$。 由 $a_1,a_3,a_6$ 成等比数列，得 $(2+2d{)}^2=2(2+5d)$， 即 $4d^2-2d=0$。因为 $d\ne 0$，所以 $d=\frac{1}{2}$。于是 $a_n=2+\frac{n-1}{2}=\frac{n+3}{2},$ 从而 $S_n=\frac{n}{2}(a_1+a_n)=\frac{n}{2}\left(2+\frac{n+3}{2}\right)=\frac{n^2}{4}+\frac{7n}{4}.$ 故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等差等比综合求和

核心方法：等比中项条件 $(2+2d{)}^2=2(2+5d)$ 定公差

避坑指南：$4d^2-2d=0$ 有两根 $0$ 与 $\frac{1}{2}$，“公差不为 $0$“正是为了舍去 $d=0$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：三项成等比 $⟺$ 中间项平方等于两端之积。

结论推广：$S_n=\frac{n}{2}(a_1+a_n)$ 与 $S_n=n{a}_1+\frac{n(n-1)}{2}d$ 任选，前者更简。

方法推广：把 $n=1$ 代入选项验证：$S_1=a_1=2$，仅 A 符合，可快速排除。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结

类题演练 (Links)

• 2009-大纲卷II文-13 填-等比数列基本量
• 2009-大纲卷I文-14 填-等差数列中项
• 2009-新课标卷文-08 单-等差数列中项求和
• 2009-安徽卷文-19 解-等差等比数列