2009-重庆卷文-12 填-反函数方程

本题导读

考查反函数。$f^{-1}(x)=3^x-1$，$3^x-1=8$ 得 $3^x=9$，$x=2$。

📌【题干】

Question

（2009年重庆卷(文)） 记 $f(x)={\log }_3(x+1)$ 的反函数为 $y=f^{-1}(x)$，则方程 $f^{-1}(x)=8$ 的解 $x=$ $\underline{}$．

🔍【思路分析】

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1. 由 $y={\log }_3(x+1)$ 交换 $x,y$：$x={\log }_3(y+1)$，即 $y=3^x-1$。
2. $f^{-1}(x)=3^x-1$。
3. $3^x-1=8$，$3^x=9=3^2$，$x=2$。

✅【答案】

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$2$

✍【详细解析】

Abstract

由 $y={\log }_3(x+1)$，交换 $x,y$ 得 $x={\log }_3(y+1)$，即 $y=3^x-1$。 因此 $f^{-1}(x)=3^x-1$。代入方程得 $3^x-1=8$， 即 $3^x=9=3^2$，所以 $x=2$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：反函数的求法

核心方法：互换 $x,y$ 解出 $y$：$f^{-1}(x)=3^x-1$

避坑指南：$f^{-1}(x)=8⟺x=f(8)$：不求反函数直接算 ${\log }_{3}9=2$ 更快。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：反函数与原函数图象关于 $y=x$ 对称，定义域值域互换。

结论推广：对数式 ${\log }_3(x+1)$ 中真数是 $x+1$，换元时别写成 $3^x+1$。

方法推广：巧用 $f^{-1}(a)=b⟺f(b)=a$，小题不必显式求反函数。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 2009-上海卷文-01 填-反函数
• 2009-大纲卷II文-02 单-反函数求法
• 2009-大纲卷I文-06 单-反函数求值
• 2011-上海卷文-03 填-反函数求值