2009-重庆卷理-01 单-直线与圆的位

本题导读

本题考查直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式。核心在于正确理解题意并选用恰当方法求解。

📌【题干】

Question

（2009年重庆卷(理)） 直线 $y=x+1$ 与圆 $x^2+y^2=1$ 的位置关系是 ()

A. 相切　　B. 相交但直线不过圆心　　C. 直线过圆心　　D. 相离

🔍【思路分析】

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1. 求出圆的圆心坐标与半径值。

2. 利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离 $d$。

3. 比较 $d$ 与半径 $R$ 的大小关系，并检验圆心坐标是否满足直线方程。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

解：由圆的方程 $x^2+y^2=1$ 可知，圆心为 $O(0,0)$，半径 $R=1$。 将直线方程化为一般式： $x-y+1=0$。 圆心 $O(0,0)$ 到直线的距离 $d$ 为： $d=\frac{|0-0+1|}{\sqrt{1^2+(-1{)}^2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ 因为 $0<d<1$，即 $0<d<R$，所以直线与圆相交。 又将圆心 $(0,0)$ 代入直线方程左边， $0-0+1=1\ne 0$，说明直线不过圆心。 综上，直线与圆的位置关系是相交但直线不过圆心。 故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：圆的标准方程；点到直线的距离公式 $d=\frac{|A{x}_0+B{y}_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$；直线与圆位置关系的几何判定法。

2. 核心方法：距离半径比较法（$d<R$ 相交， $d=R$ 相切， $d>R$ 相离）。

3. 避坑指南：判断相交后，需进一步代入圆心坐标校验是否“过圆心”，避免漏看选项细节。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 改编自教材中直线与圆的位置关系基础习题，侧重考查解析几何中最基本的度量关系。

2. 结论推广: 直线 $Ax+By+C=0$ 与圆 $(x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2=R^2$ 相交且过圆心的充要条件是 $A{x}_0+B{y}_0+C=0$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 17.05 直线与圆的位置关系

类题演练 (Links)

• 2011-浙江卷文-04 单-直线与平面位置关系
• 2011-湖北卷文-14 填-直线与圆弦长
• 2011-湖南卷理-21 解-直线与圆