2009-陕西卷文-07 单-椭圆焦点位置充要

本题导读

考查椭圆焦点位置。焦点在 $y$ 轴 $⟺\frac{1}{n}>\frac{1}{m}>0⟺m>n>0$，互为充要，选 C。

📌【题干】

Question

（2009年陕西卷(文)） "$m>n>0$"是”方程 $m{x}^2+n{y}^2=1$ 表示焦点在 $y$ 轴上的椭圆”的 ()

A. 充分而不必要条件　　　　　　　　　B. 必要而不充分条件

C. 充要条件　　　　　　　　　　　　　D. 既不充分也不必要条件

🔍【思路分析】

破题导航

1. 方程化为 $\frac{x^2}{1/m}+\frac{y^2}{1/n}=1$。
2. 表示焦点在 $y$ 轴上的椭圆 $⟺\frac{1}{n}>\frac{1}{m}>0$。
3. $\frac{1}{n}>\frac{1}{m}>0⟺m>n>0$，两条件等价。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

方程 $m{x}^2+n{y}^2=1$ 可化为 $\frac{x^2}{\frac{1}{m}}+\frac{y^2}{\frac{1}{n}}=1$。 它表示焦点在 $y$ 轴上的椭圆，当且仅当 $\frac{1}{n}>\frac{1}{m}>0$，即 $m>n>0$。 两个条件可以互推，故"$m>n>0$"是”方程表示焦点在 $y$ 轴上的椭圆”的充要条件，选 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：椭圆标准方程与焦点位置

核心方法：化为 $\frac{x^2}{1/m}+\frac{y^2}{1/n}=1$，比较两分母的大小与符号

避坑指南：焦点在 $y$ 轴要求 $y^2$ 项分母更大且两分母均为正；取倒数后不等号方向反转，$m>n>0⟺\frac{1}{n}>\frac{1}{m}>0$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：充要条件题的本质是两个命题互推，本题化简后两条件完全等价。

结论推广：$m{x}^2+n{y}^2=1$ 表示椭圆 $⟺m>0$，$n>0$，$m\ne n$；焦点位置由分母大小决定。

方法推广：判断充要时双向验证：充分性、必要性各推一次，缺一不可。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

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类题演练 (Links)

• 2009-四川卷文-07 单-充要条件
• 2009-北京卷文-06 单-充要条件判定
• 2009-上海卷文-12 填-椭圆焦点三角形面积
• 2009-大纲卷I文-12 单-椭圆准线向量