2009-北京卷文-06 单-充要条件判定

本题导读

考查充要条件。$\alpha =\frac{\pi }{6}\Rightarrow \cos 2\alpha =\frac{1}{2}$ 充分；$\cos 2\alpha =\frac{1}{2}$ 的解集是 $\alpha =k\pi \pm \frac{\pi }{6}$，不必要。

📌【题干】

Question

（2009年北京卷(文)） "$\alpha =\frac{\pi }{6}$"是"$\cos 2\alpha =\frac{1}{2}$"的 ()

A. 充分而不必要条件　　　　　　　　　B. 必要而不充分条件

C. 充分必要条件　　　　　　　　　　　D. 既不充分也不必要条件

🔍【思路分析】

破题导航

1. $\alpha =\frac{\pi }{6}\Rightarrow \cos 2\alpha =\cos \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}$，充分。
2. $\cos 2\alpha =\frac{1}{2}\Rightarrow 2\alpha =\pm \frac{\pi }{3}+2k\pi \Rightarrow \alpha =\pm \frac{\pi }{6}+k\pi$，取 $\alpha =\frac{5\pi }{6}$ 反例，不必要。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

充分性：$\alpha =\frac{\pi }{6}$ 时，$\cos 2\alpha =\cos \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}$，成立。 必要性：由 $\cos 2\alpha =\frac{1}{2}$ 得 $2\alpha =\pm \frac{\pi }{3}+2k\pi$（$k\in \mathbf{Z}$），即 $\alpha =\pm \frac{\pi }{6}+k\pi$，不只有 $\alpha =\frac{\pi }{6}$（如 $\alpha =\frac{5\pi }{6}$ 也满足），故不必要。 所以"$\alpha =\frac{\pi }{6}$"是"$\cos 2\alpha =\frac{1}{2}$"的充分而不必要条件，选 A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：充分条件与必要条件的判定

核心方法：正推充分 + 反例否必要

避坑指南：$\cos 2\alpha =\frac{1}{2}$ 的解集是 $\alpha =\pm \frac{\pi }{6}+k\pi$，用 $\alpha =\frac{5\pi }{6}$ 作反例即可否定必要性。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：充要条件判定常与三角、不等式结合出题。

结论推广：“小推大”充分、“大推小”必要：小集合是大的充分不必要条件。

方法推广：解三角方程时注意周期性给出的多解，别只取一个主值就下结论。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 02.01 常用逻辑用语

类题演练 (Links)

• 2011-四川卷文-05 单-充分必要条件
• 2013-安徽卷文-04 单-充要条件方向
• 2013-福建卷文-02 单-充要条件判定