2009-陕西卷文-09 单-选排组数

本题导读

考查选排问题。奇数 $\{1,3,5,7\}$ 选 $2$、偶数 $\{2,4,6\}$ 选 $2$、全排列：$6\times 3\times 24=432$，选 A。

📌【题干】

Question

（2009年陕西卷(文)） 从 $1,2,3,4,5,6,7$ 这七个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数，其中奇数的个数为 ()

A. $432$　　　　　　B. $288$　　　　　　C. $216$　　　　　　D. $108$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 奇数集合 $\{1,3,5,7\}$ 取 $2$ 个：${\mathrm{C}}_4^2=6$ 种。
2. 偶数集合 $\{2,4,6\}$ 取 $2$ 个：${\mathrm{C}}_3^2=3$ 种。
3. 四个数字全排列：${\mathrm{A}}_4^4=24$ 种。
4. 合计 $6\times 3\times 24=432$。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

七个数字中奇数有 $1,3,5,7$ 共 $4$ 个，偶数有 $2,4,6$ 共 $3$ 个。 任取两个奇数和两个偶数：${\mathrm{C}}_4^2\times {\mathrm{C}}_3^2=6\times 3=18$ 种取法； 每种取法的 $4$ 个数字可组成 ${\mathrm{A}}_4^4=24$ 个四位数。 故所求个数为 $18\times 24=432$，选 A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：先选后排的计数问题

核心方法：${\mathrm{C}}_4^2\times {\mathrm{C}}_3^2\times {\mathrm{A}}_4^4$

避坑指南：奇数集合是 $\{1,3,5,7\}$ 共 $4$ 个、偶数集合是 $\{2,4,6\}$ 共 $3$ 个，基数数错则全盘皆错。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：组合管”选”、排列管”排”，乘法原理把两步串联。

结论推广：若附加”奇数不相邻”等条件，选出四个数字后改用插空法排列。

方法推广：数字无重复 $\Rightarrow$ 选出的四个数字直接全排列 ${\mathrm{A}}_4^4$，无需去重。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.01 计数原理、排列与组合

类题演练 (Links)

• 2009-北京卷文-05 单-四位偶数排列
• 2011-广东卷文-12 填-奇偶求值
• 2009-重庆卷文-13 填-不相邻排列
• 2012-大纲卷文-07 单-排列特殊元素