2009-陕西卷文-20 解-三次函数单调与交点

本题导读

考查导数应用。（1）$a<0$ 时 $\mathbf{R}$ 上递增；$a>0$ 时增区间 $(-\infty ,-\sqrt{a})$、$(\sqrt{a},+\infty )$，减区间 $(-\sqrt{a},\sqrt{a})$；（2）$a=1$，极大 $f(-1)=1$、极小 $f(1)=-3$，$m\in (-3,1)$。

📌【题干】

Question

（2009年陕西卷(文)） 已知函数 $f(x)=x^3-3ax-1$，$a\ne 0$.

(1)求 $f(x)$ 的单调区间；

(2)若 $f(x)$ 在 $x=-1$ 处取得极值，直线 $y=m$ 与 $y=f(x)$ 的图象有三个不同的交点，求 $m$ 的取值范围.

🔍【思路分析】

破题导航

1. $f^{\prime }(x)=3x^2-3a=3(x^2-a)$。
2. $a<0$：$f^{\prime }>0$ 恒成立，$\mathbf{R}$ 上递增。
3. $a>0$：增区间 $(-\infty ,-\sqrt{a})$ 与 $(\sqrt{a},+\infty )$，减区间 $(-\sqrt{a},\sqrt{a})$。 4.（2）$f^{\prime }(-1)=3-3a=0$，$a=1$。
4. $f(x)=x^3-3x-1$：极大值 $f(-1)=1$，极小值 $f(1)=-3$。
5. 三交点 $⟺-3<m<1$。

✅【答案】

点击查看答案

(1) $a<0$ 时 $f(x)$ 在 $\mathbf{R}$ 上单调递增；$a>0$ 时单调增区间为 $(-\infty ,-\sqrt{a})$ 和 $(\sqrt{a},+\infty )$，单调减区间为 $(-\sqrt{a},\sqrt{a})$；(2)$m\in (-3,1)$

✍【详细解析】

Abstract

（1）$f^{\prime }(x)=3x^2-3a=3(x^2-a)$。 当 $a<0$ 时，$f^{\prime }(x)>0$ 对任意 $x\in \mathbf{R}$ 成立，所以 $f(x)$ 在 $\mathbf{R}$ 上单调递增； 当 $a>0$ 时，$f^{\prime }(x)>0$ 的区间为 $(-\infty ,-\sqrt{a})$ 和 $(\sqrt{a},+\infty )$， $f^{\prime }(x)<0$ 的区间为 $(-\sqrt{a},\sqrt{a})$， 所以 $f(x)$ 在前两个区间上单调递增，在中间区间上单调递减。 （2）因为 $f(x)$ 在 $x=-1$ 处取得极值，且 $f$ 可导， 所以 $f^{\prime }(-1)=0$，即 $3-3a=0$，得 $a=1$。 此时 $f(x)=x^3-3x-1$，$f^{\prime }(x)=3(x^2-1)$， $f(x)$ 在 $(-\infty ,-1)$、$(1,+\infty )$ 上单调递增，在 $(-1,1)$ 上单调递减。 又 $f(-1)=1$，$f(1)=-3$， 因此直线 $y=m$ 与曲线有三个不同交点当且仅当 $-3<m<1$，故 $m\in (-3,1)$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：含参三次函数的单调性与图象交点个数

核心方法：$f^{\prime }(x)=3(x^2-a)$ 按 $a$ 的符号分类讨论；极值反定参数

避坑指南：题设 $a\ne 0$，但仍须分 $a<0$ 与 $a>0$ 两种情形完整讨论；三交点要求 $m$ 严格介于两极值之间，端点取不到。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：三次函数与水平直线三交点 $⟺$ 水平线严格介于极大值与极小值之间。

结论推广：可导函数在极值点处导数为零，$f^{\prime }(-1)=0$ 可反定参数 $a=1$。

方法推广：“交点个数”翻译为”水平线与曲线的位置关系”，数形结合先画走势再列不等式。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值

类题演练 (Links)

• 2009-四川卷文-20 解-切线定参与极值
• 2009-新课标卷文-21 解-三次函数极值与恒成立
• 2009-安徽卷文-08 单-三次函数图象
• 2009-山东卷文-21 解-导数极值与恒成立