2009-陕西卷理-14 填-集合

本题导读

本题考查集合的容斥原理、韦恩图在计数中的应用，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2009年陕西卷(理)） 某班有 36 名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为 26, 15, 13，同时参加数学和物理小组的有 6 人，同时参加物理和化学小组的有 4 人，则同时参加数学和化学小组的有$\underline{}$人．

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设参加数学、物理、化学小组的集合分别为 $A,B,C$。

2. 由“每名同学至多参加两个小组”可知，同时参加三个小组的人数 $|A\cap B\cap C|=0$。

3. 利用三集合的容斥原理公式 $|A\cup B\cup C|=|A|+|B|+|C|-(|A\cap B|+|B\cap C|+|C\cap A|)+|A\cap B\cap C|$ 列出方程直接求得答案。

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$8$

✍【详细解析】

Abstract

设参加数学、物理、化学小组的集合分别为 $A,B,C$，则： $|A|=26,|B|=15,|C|=13$ 且同时参加数学和物理小组的人数 $|A\cap B|=6$，同时参加物理和化学小组的人数 $|B\cap C|=4$。 由“每名同学至多参加两个小组”可知： $|A\cap B\cap C|=0$ 全班总人数 $|A\cup B\cup C|=36$。 根据三集合容斥原理公式： $|A\cup B\cup C|=|A|+|B|+|C|-(|A\cap B|+|B\cap C|+|C\cap A|)+|A\cap B\cap C|$ 代入数据得： $36=26+15+13-(6+4+|C\cap A|)+0$ $36=54-10-|C\cap A|$ $36=44-|C\cap A|⟹|C\cap A|=8$ 所以同时参加数学和化学小组的有 8 人。 故填 $8$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：容斥原理（三集合交并集模型）。

2. 核心方法：熟练应用三集合的基数计算公式。

3. 避坑指南：审题时需注意“至多参加两个小组”这一隐含条件，它等价于三者交集 $|A\cap B\cap C|=0$，这是解题的突破口。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题是集合与计数原理（属于高一集合基本运算及概率论前置基础）的综合题，侧重逻辑划分。

2. 结论推广: 一般地，当 $n$ 个集合的任意三个或三个以上交集为空时，容斥原理退化为一次两两相交结构：$|{\bigcup }_{i=1}^n{A}_i|=\sum |A_i|-\sum |A_i\cap A_j|$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 01.01集合的含义、表示与基本运算

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷文-01 填-集合补集
• 2011-上海卷理-02 填-集合
• 2011-北京卷文-01 单-集合补集区间