2010-上海卷文-16 单-正切与充要条件

本题导读

考查充要条件。$\tan x=1$ 的解是 $x=k\pi +\frac{\pi }{4}$，题设只是其中 $k$ 为偶数的一半，充分不必要，选 A。

📌【题干】

Question

（2010年上海卷(文)） ”$x=2k\pi +\frac{\pi }{4}$（$k\in \mathbf{Z}$）“是"$\tan x=1$"成立的()

A. 充分不必要条件　　　　　　　　　　B. 必要不充分条件

C. 充要条件　　　　　　　　　　　　　D. 既不充分也不必要条件

🔍【思路分析】

破题导航

1. 若 $x=2k\pi +\frac{\pi }{4}$，则 $\tan x=\tan \frac{\pi }{4}=1$，充分性成立。
2. 若 $\tan x=1$，则 $x=k\pi +\frac{\pi }{4}$，如 $x=\frac{5\pi }{4}$ 不满足题设形式。
3. 必要性不成立，故为充分不必要条件。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

若 $x=2k\pi +\frac{\pi }{4}$（$k\in \mathbf{Z}$），则 $\tan x=\tan \left(2k\pi +\frac{\pi }{4}\right)=\tan \frac{\pi }{4}=1,$ 充分性成立。 反之，$\tan x=1⟺x=k\pi +\frac{\pi }{4}$（$k\in \mathbf{Z}$）， 取 $x=\pi +\frac{\pi }{4}=\frac{5\pi }{4}$，它不能写成 $2k\pi +\frac{\pi }{4}$，必要性不成立。 故为充分不必要条件，选 A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：充要条件的判断

核心方法：双向检验：先证充分性，再找反例否必要性

避坑指南：$\tan x=1$ 的通解是 $x=k\pi +\frac{\pi }{4}$（周期 $\pi$），题设 $x=2k\pi +\frac{\pi }{4}$ 只取到 $k$ 为偶数的一半；反例 $x=\frac{5\pi }{4}$ 是关键。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：充要条件问题常与三角方程、不等式结合，是上海卷选择题的常客。

结论推广：正切函数的周期是 $\pi$ 不是 $2\pi$。

方法推广：”$p$ 是 $q$ 的充分条件”$⟺p\Rightarrow q$，方向不要记反。

🔗【关联脉络】

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