2009-湖北卷文-03 单-充要条件二倍角

本题导读

考查充要条件。$\cos 2\alpha =1-2{\sin }^2\alpha$ 给出充分性；$\alpha =-\frac{\pi }{6}$ 时 $\cos 2\alpha =\frac{1}{2}$ 而 $\sin \alpha =-\frac{1}{2}$，不必要，选 A。

📌【题干】

Question

（2009年湖北卷(文)） “$\sin \alpha =\frac{1}{2}$”是“$\cos 2\alpha =\frac{1}{2}$”的 ()

A. 充分而不必要条件　　　　　　　　　B. 必要而不充分条件

C. 充要条件　　　　　　　　　　　　　D. 既不充分也不必要条件

🔍【思路分析】

破题导航

1. 充分性：$\sin \alpha =\frac{1}{2}$ 时 $\cos 2\alpha =1-2{\sin }^2\alpha =1-2\times \frac{1}{4}=\frac{1}{2}$，成立。
2. 必要性：$\alpha =-\frac{\pi }{6}$ 时 $\cos 2\alpha =\cos \left(-\frac{\pi }{3}\right)=\frac{1}{2}$，但 $\sin \alpha =-\frac{1}{2}\ne \frac{1}{2}$，不成立。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

若 $\sin \alpha =\frac{1}{2}$，由二倍角公式 $\cos 2\alpha =1-2{\sin }^2\alpha =1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$，充分性成立。 反之，取 $\alpha =-\frac{\pi }{6}$，则 $\cos 2\alpha =\cos \left(-\frac{\pi }{3}\right)=\frac{1}{2}$，但 $\sin \alpha =-\frac{1}{2}$，必要性不成立。 故“$\sin \alpha =\frac{1}{2}$”是“$\cos 2\alpha =\frac{1}{2}$”的充分而不必要条件，选 A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：充要条件与二倍角

核心方法：充分性用 $\cos 2\alpha =1-2{\sin }^2\alpha$ 正推；必要性举反例 $\alpha =-\frac{\pi }{6}$

避坑指南：$\cos 2\alpha =\frac{1}{2}$ 只给出 $2\alpha =\pm \frac{\pi }{3}+2k\pi$，$\sin \alpha =\pm \frac{1}{2}$ 均可能，故反向不成立。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：判断充要关系先定推的”方向”，再用公式或反例。

结论推广：三角条件句的反例常在对称位置（负角、终边不同）。

方法推广：$\sin \alpha =\frac{1}{2}$ 与 $\cos 2\alpha =\frac{1}{2}$ 之间是”单向箭头”，方向由公式 $\cos 2\alpha =1-2{\sin }^2\alpha$ 决定。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 02.01 常用逻辑用语
• 10.02 倍角、降幂与升幂公式

类题演练 (Links)

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• 2011-大纲卷文-05 单-充分不必要条件