2010-上海卷文-18 单-正余弦定理判形状

本题导读

考查解三角形。$a:b:c=5:11:13$，$\cos C=\frac{25+121-169}{110}=-\frac{23}{110}<0$，必为钝角三角形，选 C。

📌【题干】

Question

（2010年上海卷(文)） 若 $△ABC$ 的三个内角满足 $\sin A:\sin B:\sin C=5:11:13$，则 $△ABC$()

A. 一定是锐角三角形　B. 一定是直角三角形

C. 一定是钝角三角形　D. 可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形

🔍【思路分析】

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1. 由正弦定理，$a:b:c=\sin A:\sin B:\sin C=5:11:13$。
2. 设 $a=5t,b=11t,c=13t$，最大角为 $C$。
3. $\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=\frac{25+121-169}{110}=-\frac{23}{110}<0$。
4. $C$ 为钝角，一定是钝角三角形。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

由正弦定理 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$，得 $a:b:c=\sin A:\sin B:\sin C=5:11:13.$ 设 $a=5t$，$b=11t$，$c=13t$（$t>0$），最大边 $c$ 对最大角 $C$。 由余弦定理： $\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=\frac{25t^2+121t^2-169t^2}{2\cdot 5t\cdot 11t}=-\frac{23}{110}<0,$ 故 $C$ 为钝角，$△ABC$ 一定是钝角三角形。故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：正弦定理与余弦定理判形状

核心方法：角化边求比例，最大边对大角算余弦

避坑指南：$\sin A:\sin B:\sin C=a:b:c$ 用的是正弦定理；最大角 $C$ 对最长边 $13t$，$\cos C=-\frac{23}{110}<0$ 只需算这一个角。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：判断三角形形状的标准流程：定最大边，算最大角的余弦符号。

结论推广：$a^2+b^2-c^2$ 的符号直接决定 $C$ 是锐角、直角还是钝角。

方法推广：边比 $5:11:13$ 中 $13^2=169>25+121=146$ 也可快速判断。

🔗【关联脉络】

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• 2011-浙江卷文-05 单-正弦定理边角互化
• 2011-四川卷文-08 单-正弦定理化边求角
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