2010-北京卷文-02 单-复数中点

本题导读

考查复平面中的中点。$A(6,5)$，$B(-2,3)$，中点 $(2,4)$，对应复数 $2+4\mathrm{i}$，选 C。

📌【题干】

Question

（2010年北京卷(文)） 在复平面内，复数 $6+5\mathrm{i}$，$-2+3\mathrm{i}$ 对应的点分别为 $A$，$B$.若 $C$ 为线段 $AB$ 的中点，则点 $C$ 对应的复数是()

A. $4+8\mathrm{i}$　　　　　B. $8+2\mathrm{i}$　　　　　C. $2+4\mathrm{i}$　　　　　D. $4+\mathrm{i}$

🔍【思路分析】

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1. $A(6,5)$，$B(-2,3)$。
2. 中点 $C\left(\frac{6-2}{2},\frac{5+3}{2}\right)=(2,4)$。
3. 对应复数 $2+4\mathrm{i}$。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

复数 $6+5\mathrm{i}$ 与 $-2+3\mathrm{i}$ 在复平面内对应的点分别为 $A(6,5)$，$B(-2,3)$。 由中点坐标公式， $C\left(\frac{6+(-2)}{2},\frac{5+3}{2}\right)=(2,4),$ 所以点 $C$ 对应的复数为 $2+4\mathrm{i}$，选 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：复数的几何意义与中点

核心方法：复数化为点坐标，中点坐标取平均

避坑指南：复数 $a+b\mathrm{i}$ 对应点 $(a,b)$，虚部是纵坐标；别把 $6+5\mathrm{i}$ 当成 $(5,6)$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：复平面内，复数的加减对应向量的加减，中点对应两复数的算术平均。

结论推广：$C$ 对应的复数 $=\frac{z_A+z_B}{2}$，可直接对复数运算验证。

方法推广：共轭、模长是复数几何意义的常考搭档。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2009-天津卷文-01 单-复数除法
• 2009-安徽卷文-01 单-复数代数运算
• 2009-山东卷文-02 单-复数除法
• 2009-上海卷文-17 单-中点轨迹方程