2010-北京卷文-06 单-函数单调性判断

本题导读

考查单调性判断。②底数 $\frac{1}{2}<1$ 递减，③$|x-1|=1-x$（$x<1$）递减，选 B。

📌【题干】

Question

（2010年北京卷(文)） 给定函数：①$y=x^{\frac{1}{2}}$，②$y={\log }_{\frac{1}{2}}(x+1)$，③$y=|x-1|$，④$y=2^{x+1}$，其中在区间 $(0,1)$ 上单调递减的函数序号是()

A. ①②　　　　　　　B. ②③　　　　　　　C. ③④　　　　　　　D. ①④

🔍【思路分析】

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1. ①$y=\sqrt{x}$ 在 $(0,1)$ 上递增。
2. ②$y={\log }_{1/2}(x+1)$，底数小于 $1$ 且内层递增，整体递减。
3. ③$x\in (0,1)$ 时 $y=1-x$，递减。
4. ④$y=2^{x+1}$ 递增。
5. 递减的是②③。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

①$y=x^{1/2}=\sqrt{x}$ 在 $(0,+\infty )$ 上单调递增，不符合； ②$y={\log }_{1/2}(x+1)$：内层 $u=x+1$ 递增，外层对数函数底数 $\frac{1}{2}<1$ 递减， 复合后在 $(0,1)$ 上单调递减，符合； ③当 $x\in (0,1)$ 时 $x-1<0$，$y=|x-1|=1-x$，单调递减，符合； ④$y=2^{x+1}$ 底数 $2>1$，在 $(0,1)$ 上单调递增，不符合。 故单调递减的是②③，选 B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：基本初等函数的单调性

核心方法：逐函数分析：幂函数、对数复合、绝对值、指数

避坑指南：③在 $(0,1)$ 上 $x-1<0$，去绝对值要变号为 $1-x$；②是复合函数，“同增异减”别只看内层。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：复合函数单调性：内外层同向则增，反向则减。

结论推广：$y=x^{1/2}$ 是幂函数，指数为正则在 $[0,+\infty )$ 上递增。

方法推广：含绝对值的函数先分段去绝对值，再谈单调性。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 2009-江苏卷-10 填-指数函数单调性
• 2009-广东卷文-08 单-导数单调区间
• 2012-大纲卷文-11 单-指对数比大小
• 2009-江苏卷-03 填-导数单调区间