2010-北京卷文-20 解-新定义距离

本题导读

考查新定义距离。（1） $A - B = (1, 0, 1, 0, 1)$ ， $d = 3$ ；（2）分量讨论即得；（3）三距离之和为偶数，故至少一个为偶数。

📌【题干】

Question

（2010年北京卷(文)）已知集合 $S_{n} = {X ∣ X = (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}), x_{i} \in {0, 1}, i = 1, 2, \dots, n}$ （ $n ⩾ 2$ ），对于 $A = (a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n})$ ， $B = (b_{1}, b_{2}, \dots, b_{n}) \in S_{n}$ ，定义 $A$ 与 $B$ 的差为 $A - B = (∣ a_{1} - b_{1} ∣, ∣ a_{2} - b_{2} ∣, \dots, ∣ a_{n} - b_{n} ∣)$ ； $A$ 与 $B$ 之间的距离为 $d (A, B) = i = 1 \sum n ∣ a_{i} - b_{i} ∣$ .

(1)当 $n = 5$ 时，设 $A = (0, 1, 0, 0, 1)$ ， $B = (1, 1, 1, 0, 0)$ ，求 $A - B$ ， $d (A, B)$ ；

(2)证明： $\forall A, B, C \in S_{n}$ ，有 $A - B \in S_{n}$ ，且 $d (A - C, B - C) = d (A, B)$ ；

(3)证明： $\forall A, B, C \in S_{n}$ ， $d (A, B)$ ， $d (A, C)$ ， $d (B, C)$ 三个数中至少有一个是偶数.

🔍【思路分析】

破题导航

逐分量取差的绝对值即得 $A - B$ ，求和得 $d = 3$ 。

$∣ a_{i} - b_{i} ∣ \in {0, 1}$ 故 $A - B \in S_{n}$ ；分 $c_{i} = 0, 1$ 讨论每个分量不变。

$∣ a_{i} - b_{i} ∣ \equiv a_{i} + b_{i} (mod 2)$ ，三距离之和 $\equiv 2 (\sum a_{i} + \sum b_{i} + \sum c_{i}) \equiv 0$ 。

和为偶数，三者不能全为奇数。

✅【答案】

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(1) $A - B = (1, 0, 1, 0, 1)$ ， $d (A, B) = 3$

(2) (3)证明见解析

✍【详细解析】

Abstract

（1）逐分量计算： $A - B = (∣0 - 1∣, ∣1 - 1∣, ∣0 - 1∣, ∣0 - 0∣, ∣1 - 0∣) = (1, 0, 1, 0, 1),$ $d (A, B) = 1 + 0 + 1 + 0 + 1 = 3.$ （2）设 $A = (a_{1}, \dots, a_{n})$ ， $B = (b_{1}, \dots, b_{n})$ ， $C = (c_{1}, \dots, c_{n}) \in S_{n}$ 。因为 $a_{i}, b_{i} \in {0, 1}$ ，所以 $∣ a_{i} - b_{i} ∣ \in {0, 1}$ ，故 $A - B = (∣ a_{1} - b_{1} ∣, \dots, ∣ a_{n} - b_{n} ∣) \in S_{n}$ 。考察第 $i$ 个分量：当 $c_{i} = 0$ 时， $∣ a_{i} - c_{i} ∣ - ∣ b_{i} - c_{i} ∣ = ∣ a_{i} - b_{i} ∣$ ；当 $c_{i} = 1$ 时， $∣ a_{i} - c_{i} ∣ - ∣ b_{i} - c_{i} ∣ = ∣ (1 - a_{i}) - (1 - b_{i}) ∣ = ∣ a_{i} - b_{i} ∣$ 。两种情形都有 $∣ a_{i} - c_{i} ∣ - ∣ b_{i} - c_{i} ∣ = ∣ a_{i} - b_{i} ∣$ ，对 $i$ 求和得 $d (A - C, B - C) = d (A, B) .$ （3）对 $a_{i}, b_{i} \in {0, 1}$ ，有 $∣ a_{i} - b_{i} ∣ = a_{i} + b_{i} - 2 a_{i} b_{i} \equiv a_{i} + b_{i} (mod 2) .$ 求和得 $d (A, B) \equiv i = 1 \sum n a_{i} + i = 1 \sum n b_{i} (mod 2)$ 。于是 $d (A, B) + d (B, C) + d (A, C) \equiv 2 (\sum a_{i} + \sum b_{i} + \sum c_{i}) \equiv 0 (mod 2),$ 即 $d (A, B)$ ， $d (A, C)$ ， $d (B, C)$ 三数之和为偶数。若三者全为奇数，则其和为奇数，矛盾。故三个数中至少有一个是偶数。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：新定义下的运算与证明

核心方法：逐分量讨论 $0/1$ 两种情形；奇偶性全局计数

避坑指南：（2）的本质是每个分量上距离不变，必须分 $c_{i} = 0$ 与 $c_{i} = 1$ 两情形写全；（3）的关键观察是 $∣ a_{i} - b_{i} ∣ \equiv a_{i} + b_{i} (mod 2)$ ，想不到这一步就会卡住。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源： $S_{n}$ 中的元素是 $n$ 维 $0$ - $1$ 向量，距离即对应分量不同的个数（汉明距离）。

结论推广：新定义题的第一步永远是用定义算一个具体例子，（1）就是热身。

方法推广：奇偶分析法：三数之和为偶，则三者不能全奇——抽屉原理的奇偶版本。

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