2010-北京卷理-12 填-几何证明

本题导读

本题考查圆内平面几何的经典定理。解题核心在于利用割线定理求出未知线段的长，再通过圆内接四边形的性质发现直角三角形，最终利用勾股定理或相似三角形比例解决问题。

📌【题干】

Question

（2010年北京卷(理)） 如图，$\odot O$ 的弦 $ED,CB$ 的延长线交于点 $A$．若 $BD\perp AE$，$AB=4$，$BC=2$，$AD=3$，则 $DE=$\underline{\quad\quad\quad}$；$CE = $\underline{}$．

🔍【思路分析】

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1. 运用割线定理：由从圆外一点引出的两条割线可得 $AD\cdot AE=AB\cdot AC$，从而直接求出 $AE$ 的长与 $DE$ 的长。

2. 挖掘垂直隐含条件：由于 $BD\perp AE$，可知 $\angle ADB=90^{\circ }$。利用圆内接四边形对角互补的性质，其外角等于内对角，进而证明 $\angle C=90^{\circ }$。

3. 直角三角形求解：在 Rt$△ACE$ 中利用勾股定理，或者通过 $△ABD\sim △ACE$ 的相似比直接求出 $CE$。

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5

✍【详细解析】

Abstract

因为 $ED,CB$ 的延长线交于点 $A$，所以 $A$ 为圆外一点，$AC$ 和 $AE$ 为圆的两条割线。 已知 $AB=4,BC=2$，则 $AC=AB+BC=4+2=6$． 根据圆的割线定理有： $AD\cdot AE=AB\cdot AC$ 代入已知数据 $AD=3$ 得： $3\cdot AE=4\times 6=24⟹AE=8$ 所以： $DE=AE-AD=8-3=5$

因为 $BD\perp AE$，所以 $\angle ADB=90^{\circ }$． 又因为四边形 $BCED$ 为圆内接四边形，根据圆内接四边形的外角等于其内对角的性质，可得： $\angle ACE=\angle ADB=90^{\circ }$ 因此 $△ACE$ 是以 $\angle ACE$ 为直角的直角三角形。 在 Rt$△ACE$ 中，已知 $AC=6,AE=8$，由勾股定理可得： $CE=\sqrt{A{E}^2-A{C}^2}=\sqrt{8^2-6^2}=\sqrt{28}=2\sqrt{7}$

填空答案：5；$2\sqrt{7}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：割线定理、圆内接四边形的性质、直角三角形的性质。

2. 核心方法：几何法。

3. 避坑指南：求 $CE$ 时，考生容易盲目联结圆心或构造复杂的辅助线。实际上只需通过圆内接四边形完成角度的等量代换，即可发现 $△ACE$ 为直角三角形，从而使计算大为简化。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题属于经典的欧几里得几何问题，源自选修4-1《几何证明选讲》中关于圆的性质与定理的直接考查。

2. 结论推广: 若从圆外一点 $A$ 引两条割线 $AE,AC$，若已知其中一条割线上的某弦与另一条割线垂直（如 $BD\perp AE$），则大三角形 $△ACE$ 必为直角三角形（$\angle ACE=90^{\circ }$），且满足 $△ABD\sim △ACE$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 07.02 三角函数的定义与诱导公式

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷文-17 单-三角方程解集
• 2011-上海卷理-08 填-三角函数
• 2011-上海卷理-17 单-三角