2011-上海卷理-17 单-三角

本题导读

本题考查平面向量的线性运算，以及向量加法的多边形法则。

📌【题干】

Question

（2011年上海卷(理)）设 $A_{1}, A_{2}, A_{3}, A_{4}, A_{5}$ 是平面上给定的 5 个不同点，则使 $M A_{1} + M A_{2} + M A_{3} + M A_{4} + M A_{5} = 0$ 成立的点 $M$ 的个数为 ()

A. 0　　　　　　　B. 1　　　　　　　C. 5　　　　　　　D. 10

🔍【思路分析】

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取平面内任意参考原点 $O$ ，将以 $M$ 为起点的向量拆分为位置向量： $M A_{i} = O A_{i} - O M$ 。

将已知向量方程转化为： $\sum_{i = 1}^{5} (O A_{i} - O M) = 0 ⟹ 5 O M = \sum_{i = 1}^{5} O A_{i}$ 。

解得 $O M = \frac{1}{5} \sum_{i = 1}^{5} O A_{i}$ ，该向量唯一确定，故点 $M$ 为 5 个顶点的几何质心，有且仅有 1 个。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

在平面内任取一点 $O$ 作为基准原点，根据向量的减法运算： $M A_{k} = O A_{k} - O M (k = 1, 2, 3, 4, 5)$ 代入已知方程 $\sum_{k = 1}^{5} M A_{k} = 0$ ，得： $\sum_{k = 1}^{5} (O A_{k} - O M) = 0$ $\sum_{k = 1}^{5} O A_{k} - 5 O M = 0$ 解得： $O M = \frac{1}{5} (O A_{1} + O A_{2} + O A_{3} + O A_{4} + O A_{5})$ 因为点 $A_{1}, A_{2}, A_{3}, A_{4}, A_{5}$ 是确定的 5 个点，其位置向量和 $\sum_{k = 1}^{5} O A_{k}$ 唯一确定，所以点 $M$ 的位置向量 $O M$ 唯一确定，即点 $M$ 是由该 5 个点构成的多边形系统的唯一物理质心（几何中心）。故满足条件的点 $M$ 的个数为 1。故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：向量拆分法 $M A = O A - O M$ 、仿射空间中几何质心的唯一性定理。

核心方法：化未知起点为统一起点 $O$ ，将几何关系转化为位置向量的线性方程。

避坑指南：切勿凭直觉猜测与点数 5 或组合数 10 相关，只要将方程化为一阶线性向量方程，解的存在唯一性显而易见。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：人教版/沪教版必修四平面向量线性运算与三角形重心向量结论 $G A + GB + GC = 0$ 的多边形推广。

结论推广：对平面/空间中任意给定的 $n$ 个点 $A_{1}, A_{2}, \dots, A_{n}$ ，满足 $\sum_{i = 1}^{n} λ_{i} M A_{i} = 0$ （其中 $\sum λ_{i} \neq = 0$ ）的点 $M$ 恒存在且唯一，其为这组点的质心。

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2002-新课标理-10 单-平面向量的线性运算

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