2010-四川卷文-14 填-直线与圆弦长

本题导读

考查圆的弦长。$d=\sqrt{5}$、$r=2\sqrt{2}$，半弦长 $\sqrt{8-5}=\sqrt{3}$，故 $|AB|=2\sqrt{3}$。

📌【题干】

Question

（2010年四川卷(文)） 直线 $x-2y+5=0$ 与圆 $x^2+y^2=8$ 相交于 $A$、$B$ 两点，则 $|AB|=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 圆 $x^2+y^2=8$ 的圆心为原点，半径 $r=2\sqrt{2}$（$r^2=8$）。
2. 圆心到直线的距离 $d=\frac{|5|}{\sqrt{1^2+(-2{)}^2}}$。
3. 垂径定理：$|AB|=2\sqrt{r^2-d^2}$。

✅【答案】

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2\sqrt3

✍【详细解析】

Abstract

圆 $x^2+y^2=8$ 的圆心为原点，半径 $r=2\sqrt{2}$. 原点到直线 $x-2y+5=0$ 的距离为 $d=\frac{|0-0+5|}{\sqrt{1^2+(-2{)}^2}}=\frac{5}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}.$ 设弦 $AB$ 的中点为 $H$，则 $OH\perp AB$，且 $AH=\sqrt{r^2-d^2}=\sqrt{8-5}=\sqrt{3},$ 所以 $|AB|=2AH=2\sqrt{3}.$ 故 $|AB|=2\sqrt{3}$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：直线与圆的弦长

核心方法：$d=\sqrt{5}$，$|AB|=2\sqrt{8-5}=2\sqrt{3}$

避坑指南：圆心到直线距离公式的分母是 $\sqrt{1^2+(-2{)}^2}=\sqrt{5}$，常数 5 与 $\sqrt{5}$ 别混；半径是 $2\sqrt{2}$，$r^2=8$（别把 8 当半径开进公式）；半弦用 $\sqrt{r^2-d^2}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：直线与圆相交求弦长是解析几何小题的标准动作，各地卷几乎年年出现。

结论推广：弦长 $=2\sqrt{r^2-d^2}$；也可联立方程用韦达定理求弦长。

方法推广：几何法（垂径定理）优先于代数法；先算 $d$ 与 $r^2$，再开方，最后乘 2。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 17.05 直线与圆的位置关系

类题演练 (Links)

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• 2011-湖北卷文-14 填-直线与圆弦长
• 2012-北京卷文-09 填-直线与圆弦长
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