2010-四川卷文-19 解-和角公式推导求值

本题导读

考查公式推导与求值。(1) 单位圆中把角 $\alpha$ 的终边旋转 $\beta$ 角，比较旋转后坐标的两个分量即得两公式；(2) 由同角关系与范围定出各三角函数值，代入和角公式得 $\frac{3\sqrt{10}}{10}$。

📌【题干】

Question

（2010年四川卷(文)） (1)①证明两角和的余弦公式 $C(\alpha +\beta )$：$\cos (\alpha +\beta )=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta$； ②由 $C(\alpha +\beta )$ 推导两角和的正弦公式 $S(\alpha +\beta )$：$\sin (\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta$.

(2)已知 $\cos \alpha =-\frac{4}{5}$，$\alpha \in \left(\pi ,\frac{3\pi }{2}\right)$，$\tan \beta =-\frac{1}{3}$，$\beta \in \left(\frac{\pi }{2},\pi \right)$，求 $\cos (\alpha +\beta )$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. (1) 在单位圆中，将角 $\alpha$ 终边上的单位向量绕原点旋转 $\beta$ 角；写出基向量 $(1,0)$、$(0,1)$ 旋转后的像，再比较旋转后点的两个坐标分量。
2. (2) 由 $\alpha \in \left(\pi ,\frac{3\pi }{2}\right)$ 定 $\sin \alpha <0$；由 $\tan \beta =-\frac{1}{3}$ 与 $\beta \in \left(\frac{\pi }{2},\pi \right)$ 定 $\sin \beta >0$、$\cos \beta <0$。
3. 各值代入两角和的余弦公式。

✅【答案】

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(2) $\frac{3\sqrt{10}}{10}$

✍【详细解析】

Abstract

（1）①在单位圆中，设角 $\alpha$ 的终边与单位圆交于点 $P=(\cos \alpha ,\sin \alpha )$. 将点 $P$ 绕原点逆时针旋转 $\beta$ 角，所得点对应角 $\alpha +\beta$. 旋转把单位向量 $(1,0)$ 变为 $(\cos \beta ,\sin \beta )$，把 $(0,1)$ 变为 $(-\sin \beta ,\cos \beta )$，因此旋转后的点坐标为 $\cos \alpha (\cos \beta ,\sin \beta )+\sin \alpha (-\sin \beta ,\cos \beta )=(\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta ,\cos \alpha \sin \beta +\sin \alpha \cos \beta ).$ 另一方面，该点坐标也为 $(\cos (\alpha +\beta ),\sin (\alpha +\beta ))$，比较第一分量即得 $\cos (\alpha +\beta )=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta .$ ②比较上述坐标的第二个分量，即得 $\sin (\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta .$ （2）因为 $\alpha \in \left(\pi ,\frac{3\pi }{2}\right)$，所以 $\sin \alpha <0$，从而 $\sin \alpha =-\sqrt{1-{\cos }^2\alpha }=-\frac{3}{5}.$ 因为 $\beta \in \left(\frac{\pi }{2},\pi \right)$，所以 $\sin \beta >0$、$\cos \beta <0$；由 $\tan \beta =-\frac{1}{3}$ 得 $\sin \beta =\frac{1}{\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{10}}{10},\cos \beta =-\frac{3}{\sqrt{10}}=-\frac{3\sqrt{10}}{10}.$ 代入两角和的余弦公式， $\cos (\alpha +\beta )=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta =\left(-\frac{4}{5}\right)\times \left(-\frac{3}{\sqrt{10}}\right)-\left(-\frac{3}{5}\right)\times \frac{1}{\sqrt{10}}=\frac{12+3}{5\sqrt{10}}=\frac{3}{\sqrt{10}}=\frac{3\sqrt{10}}{10}.$ 所以 $\cos (\alpha +\beta )=\frac{3\sqrt{10}}{10}$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：两角和公式的推导与运用

核心方法：旋转坐标比较法；$\cos (\alpha +\beta )=\frac{3\sqrt{10}}{10}$

避坑指南：推导题要写清”旋转把基向量变到哪”这一步；$\alpha$ 在第三象限 $\sin \alpha <0$，$\beta$ 在第二象限 $\cos \beta <0$，符号由范围定死；由 $\tan \beta =-\frac{1}{3}$ 求 $\sin \beta$、$\cos \beta$ 时分母是 $\sqrt{10}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：公式证明题回归教材本源（单位圆旋转向量法），是四川卷重视教材的标志性试题。

结论推广：单位圆旋转推导 $C(\alpha +\beta )$ 与 $S(\alpha +\beta )$；已知一值一角的范围定其余各值。

方法推广：推导题按”构造—旋转—比较坐标”叙述；计算题先定符号再代公式，两步缺一不可。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 10.01 两角和与差及辅助角公式

类题演练 (Links)

• 2009-大纲卷I文-04 单-正切和角公式
• 2011-江苏卷-07 填-正切和角与二倍角
• 2012-安徽卷文-16 解-和角正弦与中线长
• 2013-四川卷理-17 解-降幂公式与两角和的余弦公式