2008-山东卷文-10 单-和角公式与诱导求值

本题导读

条件展开为 $\frac{\sqrt{3}}{2}\cos \alpha +\frac{3}{2}\sin \alpha =\frac{4\sqrt{3}}{5}$，即 $\cos \alpha +\sqrt{3}\sin \alpha =\frac{8}{5}$；$\sin \left(\alpha +\frac{7\pi }{6}\right)=-\frac{1}{2}(\cos \alpha +\sqrt{3}\sin \alpha )=-\frac{4}{5}$.

📌【题干】

Question

（2008年山东卷(文)） 已知 $\cos \left(\alpha -\frac{\pi }{6}\right)+\sin \alpha =\frac{4\sqrt{3}}{5}$，则 $\sin \left(\alpha +\frac{7\pi }{6}\right)$ 的值是()

A. $-\frac{2\sqrt{3}}{5}$　　　　　　B. $\frac{2\sqrt{3}}{5}$　　　　　　C. $-\frac{4}{5}$　　　　　　D. $\frac{4}{5}$

🔍【思路分析】

破题导航

左端 $=\frac{\sqrt{3}}{2}\cos \alpha +\frac{3}{2}\sin \alpha =\frac{\sqrt{3}}{2}\left(\cos \alpha +\sqrt{3}\sin \alpha \right)$，故 $\cos \alpha +\sqrt{3}\sin \alpha =\frac{8}{5}$；目标 $=-\frac{1}{2}\cos \alpha -\frac{\sqrt{3}}{2}\sin \alpha =-\frac{4}{5}$.

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

$\cos \left(\alpha -\frac{\pi }{6}\right)+\sin \alpha =\frac{\sqrt{3}}{2}\cos \alpha +\frac{1}{2}\sin \alpha +\sin \alpha =\frac{\sqrt{3}}{2}\left(\cos \alpha +\sqrt{3}\sin \alpha \right)=\frac{4\sqrt{3}}{5}$，故 $\cos \alpha +\sqrt{3}\sin \alpha =\frac{8}{5}$. $\sin \left(\alpha +\frac{7\pi }{6}\right)=\sin \alpha \cos \frac{7\pi }{6}+\cos \alpha \sin \frac{7\pi }{6}=-\frac{\sqrt{3}}{2}\sin \alpha -\frac{1}{2}\cos \alpha =-\frac{1}{2}\left(\cos \alpha +\sqrt{3}\sin \alpha \right)=-\frac{4}{5}$，选 C.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：和角展开与整体代换

核心方法：把条件与目标都展开成 $\cos \alpha +\sqrt{3}\sin \alpha$ 的倍数，整体代入

避坑指南：$$\begin{gathered} sin( \\ alpha+ \\ frac7 \\ pi6) \end{gathered}$$ 展开后 $$\begin{gathered} cos \\ alpha \end{gathered}$$ 与 $$\begin{gathered} sin \\ alpha \end{gathered}$$ 的系数是 $$\begin{gathered} - \\ frac12 \end{gathered}$$ 与 $$\begin{gathered} - \\ frac \\ sqrt32 \end{gathered}$$，符号别错；提公因式时数值别丢

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：和角展开+整体代换是三角求值的核心套路（2010 新课标Ⅰ文 10）

结论推广：条件式与目标式共享结构时，系数比即答案倍数

方法推广：“凑结构”优先于解出单角；$\alpha +\frac{7\pi }{6}$ 与 $\alpha -\frac{\pi }{6}$ 相差 $\frac{4\pi }{3}$ 的互化也可行

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 10.01 两角和与差及辅助角公式
• 07.02 三角函数的定义与诱导公式

类题演练 (Links)

• 2010-新课标卷文-10 单-和角正弦求值
• 2009-陕西卷文-02 单-弦化切求值
• 2010-四川卷文-19 解-和角公式推导求值
• 2011-山东卷文-03 单-指数求值与正切