2010-大纲卷I文-08 单-双曲线焦点三角形

本题导读

考查双曲线焦点三角形。 $r_{1}^{2} + r_{2}^{2} - 2 r_{1} r_{2} = 4$ 与 $8 = r_{1}^{2} + r_{2}^{2} - r_{1} r_{2}$ 相减得 $r_{1} r_{2} = 4$ ，选 B。

📌【题干】

Question

（2010年大纲卷I(文)）已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 为双曲线 $C : x^{2} - y^{2} = 1$ 的左、右焦点，点 $P$ 在 $C$ 上， $∠ F_{1} P F_{2} = 6 0^{\circ}$ ，则 $∣ P F_{1} ∣ \cdot ∣ P F_{2} ∣$ 等于()

A. $2$ 　　　　　　　B. $4$ 　　　　　　　C. $6$ 　　　　　　　D. $8$

🔍【思路分析】

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$a = 1$ ， $c = 2$ ， $∣ F_{1} F_{2} ∣ = 22$ ； $∣ r_{1} - r_{2} ∣ = 2$ 。

平方： $r_{1}^{2} + r_{2}^{2} - 2 r_{1} r_{2} = 4$ 。

余弦定理： $8 = r_{1}^{2} + r_{2}^{2} - 2 r_{1} r_{2} cos 6 0^{\circ} = r_{1}^{2} + r_{2}^{2} - r_{1} r_{2}$ 。

相减： $r_{1} r_{2} = 4$ 。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

双曲线 $x^{2} - y^{2} = 1$ 的实半轴长为 $1$ ， $c^{2} = 1 + 1 = 2$ ，故 $∣ F_{1} F_{2} ∣ = 22$ 。设 $r_{1} = ∣ P F_{1} ∣$ ， $r_{2} = ∣ P F_{2} ∣$ 。由双曲线定义 $∣ r_{1} - r_{2} ∣ = 2$ ，平方得 $r_{1}^{2} + r_{2}^{2} - 2 r_{1} r_{2} = 4.$ 在 $△ F_{1} P F_{2}$ 中由余弦定理， $8 = r_{1}^{2} + r_{2}^{2} - 2 r_{1} r_{2} cos 6 0^{\circ} = r_{1}^{2} + r_{2}^{2} - r_{1} r_{2} .$ 两式相减得 $r_{1} r_{2} = 4$ ，即 $∣ P F_{1} ∣ \cdot ∣ P F_{2} ∣ = 4$ ，选 B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：双曲线定义与焦点三角形

核心方法：定义式平方与余弦定理联立消去平方项

避坑指南： $∣ r_{1} - r_{2} ∣ = 2 a = 2$ 带绝对值，平方后才好与余弦定理式相减； $c^{2} = a^{2} + b^{2} = 2$ 是双曲线的关系式。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：焦点三角形三量 $r_{1}, r_{2}, ∣ F_{1} F_{2} ∣$ ：定义给差、余弦定理给角、面积公式给高。

结论推广：本题两式相减直接出乘积 $r_{1} r_{2}$ ，是焦点三角形求积的定式。

方法推广：双曲线 $x^{2} - y^{2} = 1$ 是等轴双曲线， $a = b = 1$ ， $c = 2$ 。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

18.07 焦点三角形专题

类题演练 (Links)

2012-大纲卷文-10 单-双曲线焦点三角形

2009-四川卷文-08 单-双曲线数量积

2011-大纲卷文-16 填-双曲线角平分线

2009-上海卷文-12 填-椭圆焦点三角形面积

∑ ( Math )

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2010-大纲卷I文-08 单-双曲线焦点三角形

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