2010-大纲卷I文-18 解-正弦定理求角

本题导读

考查解三角形。$\sin A+\sin B=\cos A+\cos B$，和差化积约去 $\cos \frac{A-B}{2}$ 得 $\tan \frac{A+B}{2}=1$，$C=\frac{\pi }{2}$。

📌【题干】

Question

（2010年大纲卷I(文)） 已知 $△ABC$ 的内角 $A$，$B$ 及其对边 $a$，$b$ 满足 $a+b=a\cot A+b\cot B$，求内角 $C$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 正弦定理：$a=2R\sin A$，$a\cot A=2R\cos A$，原式化为 $\sin A+\sin B=\cos A+\cos B$。
2. 和差化积：$2\sin \frac{A+B}{2}\cos \frac{A-B}{2}=2\cos \frac{A+B}{2}\cos \frac{A-B}{2}$。
3. $\cos \frac{A-B}{2}>0$ 约去：$\tan \frac{A+B}{2}=1$。
4. $\frac{A+B}{2}=\frac{\pi }{4}$，$A+B=\frac{\pi }{2}$，$C=\frac{\pi }{2}$。

✅【答案】

点击查看答案

$C=\frac{\pi }{2}$

✍【详细解析】

Abstract

由正弦定理，设 $a=2R\sin A$，$b=2R\sin B$（$R$ 为外接圆半径）， 则 $a\cot A=2R\cos A$，$b\cot B=2R\cos B$。 题设等式等价于 $\sin A+\sin B=\cos A+\cos B.$ 由和差化积公式（注意 $A+B\in (0,\pi )$）， $2\sin \frac{A+B}{2}\cos \frac{A-B}{2}=2\cos \frac{A+B}{2}\cos \frac{A-B}{2}.$ 因为 $\left|\frac{A-B}{2}\right|<\frac{\pi }{2}$，故 $\cos \frac{A-B}{2}>0$，可以约去，得 $\sin \frac{A+B}{2}=\cos \frac{A+B}{2}⟺\tan \frac{A+B}{2}=1.$ 又 $\frac{A+B}{2}\in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$，所以 $\frac{A+B}{2}=\frac{\pi }{4}$，$A+B=\frac{\pi }{2}$， 从而 $C=\pi -(A+B)=\frac{\pi }{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：正弦定理边角互化与和差化积

核心方法：边化角后三角恒等变换，约去正公因子

避坑指南：约去 $\cos \frac{A-B}{2}$ 前必须说明它大于零（$\left|\frac{A-B}{2}\right|<\frac{\pi }{2}$），否则约分不严谨；$\frac{A+B}{2}$ 的范围也要交代。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：$a\cot A=2R\sin A\cdot \frac{\cos A}{\sin A}=2R\cos A$，余切条件天然适配正弦定理。

结论推广：$\sin A+\sin B=\cos A+\cos B$ 型等式用和差化积提公因子。

方法推广：$\tan x=1$ 在 $\left(0,\frac{\pi }{2}\right)$ 内唯一解 $x=\frac{\pi }{4}$，范围限定保证唯一。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 11.01 正弦定理

类题演练 (Links)

• 2009-大纲卷II文-18 解-解三角形求角
• 2009-山东卷文-17 解-三角变换与解三角形
• 2011-江苏卷-15 解-三角恒等变换与解三角形
• 2009-天津卷文-17 解-正余弦定理二倍角