2010-大纲卷I理-02 单-三角函数

本题导读

本题考查三角函数的诱导公式及同角三角函数的基本关系，核心考查如何将未知角的三角函数通过已知角参数 $k$ 统一表述。

📌【题干】

Question

（2010年大纲卷I(理)） 记 $\cos (-80^{\circ })=k$，那么 $\tan 100^{\circ }=$()

A. $\frac{\sqrt{1-k^2}}{k}$　　　B. $-\frac{\sqrt{1-k^2}}{k}$　　　C. $\frac{k}{\sqrt{1-k^2}}$　　　D. $-\frac{k}{\sqrt{1-k^2}}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 先利用余弦函数的偶函数性质和诱导公式，将已知条件化简为 $\cos 80^{\circ }=k$。

2. 利用诱导公式将目标式 $\tan 100^{\circ }$ 转化为 $-\tan 80^{\circ }$。

3. 通过同角三角函数关系将切函数化为弦函数，并用 $k$ 表达，注意正负号判定。

点击查看答案

B

✍【详细解析】

Abstract

由已知条件 $\cos (-80^{\circ })=\cos 80^{\circ }=k$，且 $80^{\circ }$ 为第一象限角，故 $k>0$。 对于目标式，根据诱导公式有： $\tan 100^{\circ }=\tan (180^{\circ }-80^{\circ })=-\tan 80^{\circ }=-\frac{\sin 80^{\circ }}{\cos 80^{\circ }}$。 根据同角三角函数平方关系： $\sin 80^{\circ }=\sqrt{1-{\cos }^{2}80^{\circ }}=\sqrt{1-k^2}$。 代入得： $\tan 100^{\circ }=-\frac{\sqrt{1-k^2}}{k}$。 答案：B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：诱导公式 $\cos (-\alpha )=\cos \alpha$、$\tan (180^{\circ }-\alpha )=-\tan \alpha$ 及 ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$。

2. 核心方法：角转化与名转化相结合。

3. 避坑指南：$100^{\circ }$ 为第二象限角，正切值必为负数，因此可以直接排除 A 和 C。在求 $\sin 80^{\circ }$ 开平方时，注意 $80^{\circ }$ 在第一象限，故取正值。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题为三角函数基础题，重点考查基本功，由高一数学必修中“任意角的三角函数”基础习题改编而来。

2. 结论推广：若 $\cos \alpha =k$（$\alpha$ 为锐角），则 $\tan (90^{\circ }+\alpha )=-\cot \alpha =-\frac{k}{\sqrt{1-k^2}}$，而 $\tan (180^{\circ }-\alpha )=-\tan \alpha =-\frac{\sqrt{1-k^2}}{k}$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷理-08 填-三角函数
• 2011-北京卷理-15 解-三角函数
• 2011-大纲卷文-14 填-同角三角函数