2010-大纲卷II文-15 填-抛物线中点定参

本题导读

考查抛物线定参。$B\left(2+\frac{p}{2},\sqrt{3}\left(\frac{p}{2}+1\right)\right)$ 代入 $y^2=2px$ 得 $p^2+4p-12=0$，$p=2$。

📌【题干】

Question

（2010年大纲卷II(文)） 已知抛物线 $C:y^2=2px$（$p>0$）的准线为 $l$，过 $M(1,0)$ 且斜率为 $\sqrt{3}$ 的直线与 $l$ 相交于点 $A$，与 $C$ 的一个交点为 $B$.若 $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{MB}$，则 $p=$ $\underline{}$．

🔍【思路分析】

破题导航

1. 准线 $l:x=-\frac{p}{2}$；直线 $y=\sqrt{3}(x-1)$ 交 $l$ 于 $A\left(-\frac{p}{2},-\sqrt{3}\left(\frac{p}{2}+1\right)\right)$。
2. $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{MB}\Rightarrow M$ 是 $AB$ 中点，$B=2M-A=\left(2+\frac{p}{2},\sqrt{3}\left(\frac{p}{2}+1\right)\right)$。
3. 代入 $y^2=2px$：$3{\left(\frac{p}{2}+1\right)}^2=2p\left(2+\frac{p}{2}\right)$。
4. 化简 $p^2+4p-12=0$，$p=2$（$p>0$）。

✅【答案】

点击查看答案

$2$

✍【详细解析】

Abstract

准线 $l$ 的方程为 $x=-\frac{p}{2}$。 过 $M(1,0)$ 且斜率为 $\sqrt{3}$ 的直线为 $y=\sqrt{3}(x-1)$， 代入 $x=-\frac{p}{2}$ 得 $A\left(-\frac{p}{2},-\sqrt{3}\left(\frac{p}{2}+1\right)\right)$。 由 $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{MB}$ 知 $M$ 为线段 $AB$ 的中点，故 $B=2M-A=\left(2+\frac{p}{2},\sqrt{3}\left(\frac{p}{2}+1\right)\right).$ 点 $B$ 在抛物线上，代入 $y^2=2px$： $3{\left(\frac{p}{2}+1\right)}^2=2p\left(2+\frac{p}{2}\right)⟺\frac{3}{4}{p}^2+3p+3=p^2+4p,$ 即 $p^2+4p-12=0$，解得 $p=2$ 或 $p=-6$（舍去负值）。 故 $p=2$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：抛物线的准线与向量中点

核心方法：$\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{MB}⟺M$ 为 $AB$ 中点，$B=2M-A$ 代入曲线

避坑指南：准线是 $x=-\frac{p}{2}$ 不是 $x=-p$；点 $B$ 在抛物线上而 $A$ 在准线上，两点坐标都含 $p$，列出的方程才封闭。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：向量等式 $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{MB}$ 翻译为中点坐标公式，是解析几何的基本功。

结论推广：斜率 $\sqrt{3}$ 的直线过定点 $M$，倾斜角 $60^{\circ }$，也可用作图法辅助。

方法推广：解出 $p=-6$ 要舍去：题设 $p>0$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2009-新课标卷文-14 填-抛物线中点定参
• 2009-大纲卷II文-11 单-抛物线焦半径定斜率
• 2011-辽宁卷文-07 单-抛物线焦点弦中点距离
• 2012-四川卷文-09 单-抛物线焦半径