2010-大纲卷II文-17 解-解三角形求边

本题导读

考查解三角形。$\sin \angle BAD=\frac{4}{5}\times \frac{12}{13}-\frac{3}{5}\times \frac{5}{13}=\frac{33}{65}$，$AD=\frac{33\times 5/13}{33/65}=25$。

📌【题干】

Question

（2010年大纲卷II(文)） $△ABC$ 中，$D$ 为边 $BC$ 上的一点，$BD=33$，$\sin B=\frac{5}{13}$，$\cos \angle ADC=\frac{3}{5}$，求 $AD$.

🔍【思路分析】

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1. $\cos B=\frac{12}{13}$（$B<\angle ADC$，$B$ 为锐角），$\sin \angle ADC=\frac{4}{5}$。
2. $\angle BAD=\angle ADC-B$，$\sin \angle BAD=\frac{4}{5}\times \frac{12}{13}-\frac{3}{5}\times \frac{5}{13}=\frac{33}{65}$。
3. $△ABD$ 中：$\frac{AD}{\sin B}=\frac{BD}{\sin \angle BAD}$。
4. $AD=\frac{33\times 5/13}{33/65}=25$。

✅【答案】

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$AD=25$

✍【详细解析】

Abstract

由 $\cos \angle ADC=\frac{3}{5}>0$，知 $\angle ADC$ 为锐角，$\sin \angle ADC=\frac{4}{5}$。 又 $\angle ADC$ 是 $△ABD$ 的外角，$\angle ADC=B+\angle BAD$， 故 $B<\angle ADC<90^{\circ }$，$B$ 为锐角，$\cos B=\sqrt{1-\frac{25}{169}}=\frac{12}{13}$。 由两角差的正弦公式， $\sin \angle BAD=\sin (\angle ADC-B)=\sin \angle ADC\cos B-\cos \angle ADC\sin B=\frac{4}{5}\times \frac{12}{13}-\frac{3}{5}\times \frac{5}{13}=\frac{33}{65}.$ 在 $△ABD$ 中，由正弦定理 $\frac{AD}{\sin B}=\frac{BD}{\sin \angle BAD},$ 得 $AD=\frac{BD\sin B}{\sin \angle BAD}=\frac{33\times \frac{5}{13}}{\frac{33}{65}}=25.$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：正弦定理与三角形外角

核心方法：$\angle BAD=\angle ADC-B$，$△ABD$ 内正弦定理求 $AD$

避坑指南：由 $\cos \angle ADC>0$ 且 $\angle ADC>B$ 推出 $B$ 为锐角，$\cos B=\frac{12}{13}$ 取正是本题的严谨性采分点，不能默认。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：三角形外角等于两内对角之和，是把分散条件集中到一个小三角形的常用桥梁。

结论推广：$\frac{5}{13},\frac{12}{13}$ 与 $\frac{3}{5},\frac{4}{5}$ 两组勾股数对应的三角值要敏感。

方法推广：正弦定理 $\frac{AD}{\sin B}=\frac{BD}{\sin \angle BAD}$：已知两角一边求另一边。

🔗【关联脉络】

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• 11.01 正弦定理

类题演练 (Links)

• 2009-大纲卷I文-18 解-解三角形求边
• 2009-安徽卷文-16 解-正弦定理解三角形
• 2011-大纲卷文-18 解-正弦定理解三角形
• 2012-福建卷文-13 填-正弦定理求边