2010-大纲卷II文-19 解-直三棱柱公垂线与二面角

本题导读

考查公垂线证明与二面角。（1）$\overrightarrow{DE}\parallel (-1,0,1)$ 与 $\overrightarrow{A{B}_1}$、$\overrightarrow{CD}$ 数量积均为 $0$；（2）二面角为 $\arctan \sqrt{14}$。

📌【题干】

Question

（2010年大纲卷II(文)） 如图，直三棱柱 $ABC-A_1{B}_1{C}_1$ 中，$AC=BC$，$A{A}_1=AB$，$D$ 为 $B{B}_1$ 的中点，$E$ 为 $A{B}_1$ 上的一点，$AE=3E{B}_1$.

(1)证明：$DE$ 为异面直线 $A{B}_1$ 与 $CD$ 的公垂线；

(2)设异面直线 $A{B}_1$ 与 $CD$ 的夹角为 $45^{\circ }$，求二面角 $A_1-A{C}_1-B_1$ 的大小.

🔍【思路分析】

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1. 取 $AB$ 中点 $F$ 为原点建系，设 $AB=A{A}_1=2$：$A(-1,0,0)$、$B(1,0,0)$、$C(0,h,0)$、$B_1(1,0,2)$、$D(1,0,1)$、$E\left(\frac{1}{2},0,\frac{3}{2}\right)$。
2. $\overrightarrow{DE}\parallel (-1,0,1)$，与 $\overrightarrow{A{B}_1}=(2,0,2)$、$\overrightarrow{CD}=(1,-h,1)$ 的数量积均为 $0$。
3. 夹角 $45^{\circ }$：$\frac{|2+2|}{2\sqrt{2}\cdot \sqrt{h^2+2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow h=\sqrt{2}$。
4. 平面 $A{A}_1{C}_1$ 法向量 $(\sqrt{2},-1,0)$，平面 $A{C}_1{B}_1$ 法向量 $(\sqrt{2},1,-\sqrt{2})$。
5. $\cos \theta =\frac{1}{\sqrt{15}}$，$\tan \theta =\sqrt{14}$。

✅【答案】

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(1) 见解析

(2) 二面角 $A_1-A{C}_1-B_1$ 的大小为 $\arctan \sqrt{14}$

✍【详细解析】

Abstract

（1）取 $AB$ 的中点 $F$。因为 $AC=BC$，所以 $CF\perp AB$； 又三棱柱为直三棱柱，$CF\perp$ 平面 $AB{B}_1{A}_1$。 以 $F$ 为原点，$FB$、$FC$ 及竖直向上方向为坐标轴建立空间直角坐标系。 设 $AB=A{A}_1=2$，$CF=h$（$h>0$），则 $A(-1,0,0),B(1,0,0),C(0,h,0),A_1(-1,0,2),B_1(1,0,2).$ $D$ 为 $B{B}_1$ 中点：$D(1,0,1)$。 由 $AE=3E{B}_1$，$E=A+\frac{3}{4}\overrightarrow{A{B}_1}=\left(\frac{1}{2},0,\frac{3}{2}\right)$。 于是 $\overrightarrow{DE}=\left(-\frac{1}{2},0,\frac{1}{2}\right)\parallel (-1,0,1),\overrightarrow{A{B}_1}=(2,0,2),\overrightarrow{CD}=(1,-h,1).$ 计算数量积： $\overrightarrow{DE}\cdot \overrightarrow{A{B}_1}=-1+1=0,\overrightarrow{DE}\cdot \overrightarrow{CD}=-1+1=0.$ 又 $E\in A{B}_1$，$D\in CD$，故 $DE$ 与 $A{B}_1$、$CD$ 都垂直且相交， 即 $DE$ 为异面直线 $A{B}_1$ 与 $CD$ 的公垂线。 （2）由（1）， $\cos 45^{\circ }=\frac{|\overrightarrow{A{B}_1}\cdot \overrightarrow{CD}|}{|\overrightarrow{A{B}_1}||\overrightarrow{CD}|}=\frac{|2+2|}{2\sqrt{2}\cdot \sqrt{h^2+2}}=\frac{\sqrt{2}}{2},$ 解得 $\sqrt{h^2+2}=2$，$h=\sqrt{2}$，故 $C(0,\sqrt{2},0)$，$C_1(0,\sqrt{2},2)$。 求二面角 $A_1-A{C}_1-B_1$（棱为 $A{C}_1$）： $\overrightarrow{A{C}_1}=(1,\sqrt{2},2)$，$\overrightarrow{A{A}_1}=(0,0,2)$，$\overrightarrow{A{B}_1}=(2,0,2)$。 平面 $A{A}_1{C}_1$ 的一个法向量 ${\mathbf{n}}_1=\overrightarrow{A{C}_1}\times \overrightarrow{A{A}_1}\parallel (\sqrt{2},-1,0)$； 平面 $A{C}_1{B}_1$ 的一个法向量 ${\mathbf{n}}_2=\overrightarrow{A{C}_1}\times \overrightarrow{A{B}_1}\parallel (\sqrt{2},1,-\sqrt{2})$。 设二面角为 $\theta$（锐角），则 $\cos \theta =\frac{|{\mathbf{n}}_1\cdot {\mathbf{n}}_2|}{|{\mathbf{n}}_1||{\mathbf{n}}_2|}=\frac{|2-1+0|}{\sqrt{3}\cdot \sqrt{5}}=\frac{1}{\sqrt{15}},$ 从而 $\sin \theta =\sqrt{\frac{14}{15}}$，$\tan \theta =\sqrt{14}$。 故二面角 $A_1-A{C}_1-B_1$ 的大小为 $\arctan \sqrt{14}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：异面直线公垂线的证明与二面角

核心方法：建系验证 $\overrightarrow{DE}$ 与两方向向量数量积均为 $0$；两法向量夹角定二面角

避坑指南：证公垂线要证三件事：与两直线都垂直、垂足分别落在两直线上；求二面角时先由 $45^{\circ }$ 夹角反解 $h$，漏掉这一步直接求角会卡住。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：公垂线存在唯一，向量法”设坐标—算数量积”是最稳的证明路径。

结论推广：$AC=BC$ 提示取 $AB$ 中点建系，底面等腰三角形对称性立刻可用。

方法推广：二面角与其两个半平面法向量夹角相等或互补，最后结合图形判断锐钝（本题为锐角）。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.05 几何法求空间角专题

类题演练 (Links)

• 2009-大纲卷II文-19 解-直三棱柱线面角
• 2009-陕西卷文-19 解-直三棱柱二面角
• 2011-四川卷文-19 解-直三棱柱平行与二面角
• 2012-陕西卷文-18 解-直三棱柱垂直与体积